本章达标检测(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若向量a=(-1,3),b=(-5,4),则3a-b=( )A.(-8,5)B.(2,5)C.(2,13)D.(-2,8)2.已知平面内两点A(2,-1),B(5,3),则与向量AB同向的单位向量是( )A.35,-45B.35,45C.45,35D.45,-353.设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=( )A.12ADB.ADC.BCD.12BC4.在▱ABCD中,E,F分别为AB,CD上的点,AE=13AB,CF=13CD,G为EF的中点,则DG=( )A.12AB-12ADB.12AD-12ABC.13AB-13ADD.13AD-13AB5.已知O,A,B是平面内的三个点,直线AB上有一点C,满足AB+AC=0,则OC=( )A.2OA-OBB.-OA+2OBC.23OA-13OBD.-13OA+13OB6.如图所示,P、Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=QC,则化简AB+AC-AP-AQ的结果为( )A.0B.BPC.PQD.PC7.过△ABC内一点M任作一条直线l,再分别过顶点A,B,C作l的垂线,垂足分别为D,E,F,若AD+BE+CF=0恒成立,则点M是△ABC的( )A.垂心B.重心C.外心D.内心8.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分别为AB、BC的中点,P为以A10
为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点(如图所示).若AP=λAF+μED(λ,μ∈R),则λ-μ的值是( )A.24B.324C.2D.34二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分)9.下列命题中不正确的是( )A.两个有共同始点且相等的向量,其终点可能不同B.若非零向量AB与CD共线,则A、B、C、D四点共线C.若非零向量a与b共线,则a=bD.四边形ABCD是平行四边形,则必有|AB|=|CD|10.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且PA+PB+PC=AB,则下列说法错误的是( )A.点P在△ABC内部B.点P在△ABC外部C.点P在AB边上或其延长线上D.点P为线段AC的三等分点11.已知a=(1,0),|b|=1,c=(0,-1),满足3a+kb+7c=0,则实数k的值可能为( )A.58B.-58C.58D.-5812.下列说法中正确的是( )A.模相等的两个向量是相等向量B.若2OA+OB+3OC=0,S△AOC,S△ABC分别表示△AOC,△ABC的面积,则S△AOC∶S△ABC=1∶6C.两个非零向量a,b,若a=b,则一定有|a|=|b|,且a与b方向相同D.若向量AC=AB+BC,则线段AC=AB+BC三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)10
13.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AB+AD=λAO,则λ= ,BO= (用AB,AD来表示). 14.设向量a,b不平行,向量a+14λb与-a+b平行,则实数λ= . 15.已知点O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA+OC=OB+OD,则四边形ABCD的形状一定为 . 16.在平行四边形ABCD中,AB=e1,AC=e2,NC=14AC,BM=12MC,则MN= .(用e1,e2表示) 四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知向量a=(1,2),b=(-3,1).(1)求与2a+b同向的单位向量e;(2)若向量c=-3,-113,请用向量a,b表示向量c.18.(12分)已知向量a=(-3,2),b=(2,1),c=(3,-1),t∈R.(1)求|a+tb|的最小值;(2)若a-tb与c共线,求t的值.10
19.(12分)如图,在矩形ABCD中,点E是AC的中点,点F在边CD上.(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,试用AB,AD表示EF;(2)若BM=λBC,点F是CD上靠近C的四等分点,且AM∥EF,求λ的值.20.(12分)已知向量a=(3,2),b=(-1,3),c=(5,2).(1)求6a+b-2c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;(3)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.21.(12分)已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.(1)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)与f(b)的坐标;(2)求使f(c)=(p,q)(p,q为常数)的向量c的坐标;(3)证明:对任意的向量d,e及常数m,n恒有f(md+ne)=mf(d)+nf(e)成立.10
22.(12分)如图,已知河水自西向东流,流速为|v0|=1m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在水中的实际速度为v2.(1)若此人朝正南方向游去,且|v1|=3m/s,求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v2的大小;(2)若此人实际的前进方向与水流的方向垂直,且|v2|=3m/s,求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v1的大小.答案全解全析一、单项选择题1.B ∵a=(-1,3),b=(-5,4),∴3a-b=(-3,9)-(-5,4)=(2,5).故选B.2.B 因为两点A(2,-1),B(5,3),所以AB=(3,4),所以AB|AB|=132+42×(3,4)=35,45,所以与向量AB同向的单位向量为35,45,故选B.3.B ∵D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴AD=12AB+12AC,EB=-12(BC+BA),FC=-12(CB+CA),∴EB+FC=-12(BC+BA)-12(CB+CA)10
=12AB+12AC=AD.故选B.4.A DG=12DE+12DF=12(DA+AE)+12×23DC=12-AD+13AB+13AB=12AB-12AD.故选A.5.A 由向量的运算法则可得AB=OB-OA,AC=OC-OA,代入AB+AC=0,可得(OB-OA)+(OC-OA)=0,可得OB+OC=2OA,可得OC=2OA-OB.故选A.6.A 因为BP=QC,所以PB+QC=0,所以AB+AC-AP-AQ=(AB-AP)+(AC-AQ)=PB+QC=0,故选A.7.B 可设直线l过点A,则AD=0,则BE+CF=0恒成立.如图:则直线AM经过BC的中点,同理可得直线BM经过AC的中点,直线CM经过AB的中点,所以点M是△ABC的重心,故选B.8.A 因为P为以A为圆心,AD为半径的圆弧DE的中点,所以|AP|=|AD|=|AE|=2,∠DAP=∠EAP=45°,所以AP=22AE+22AD,因为在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=2,AB=4,E、F分别为AB、BC的中点,所以易证得四边形BCDE为平行四边形,故ED=AD-AE,AF=AB+BF=AB+12BC=AB+12ED=32AE+12AD,若AP=λAF+μED,则22AE+22AD=λ32AE+12AD+μ(AD-AE)=32λ-μAE+12λ+μAD,即22=32λ-μ,22=12λ+μ,解得λ=22,μ=24,故λ-μ=24,故选A.二、多项选择题10
9.ABC A中,相等向量的始点相同,则终点一定也相同,所以A中命题不正确;B中,向量AB与CD共线,只能说明AB、CD所在直线平行或在同一条直线上,所以B中命题不正确;C中,向量a与b共线,说明a与b方向相同或相反,a与b不一定相等,所以C中命题不正确;D中,因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB与CD是相反向量,所以|AB|=|CD|,所以D中命题正确.故选ABC.10.ABC 由题意得,PA+PB+PC=AB=PB-PA,∴PC=-2PA,∴点P在AC边上,且为线段AC的三等分点,故D选项正确,A、B、C选项说法错误.11.AB 由题可得,kb=-3a-7c=-3×(1,0)-7×(0,-1)=(-3,7),∴|kb|=|k|·|b|=(-3)2+72=58.∵|b|=1,∴k=±58.故选AB.12.BC 相等向量是大小相等、方向相同的向量,向量的模相等,但方向不一定相同,故A错误;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2OA+OB+3OC=0,所以2×2OM+2OD=0,即2OM=-OD,所以O是线段MD上靠近点M的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的13,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16,根据三角形面积公式可知B正确;易知C正确;D中,在△ABC中,AC=AB+BC,但AC<AB+BC,故D错误.故选BC.三、填空题13.答案 2;12(AD-AB) 解析 由向量加法的平行四边形法则知AB+AD=AC,∵O是AC的中点,∴AC=2AO,∴AC=2AO,故AB+AD=2AO,∴λ=2.易得BO=12BD=12(AD-AB).14.答案 -4解析 ∵a,b不平行,∴-a+b≠0.又a+14λb与-a+b平行,∴存在实数μ,使得a+14λb=μ(-a+b),∴根据平面向量基本定理,得1=-μ,14λ=μ,解得λ=-4.15.答案 平行四边形10
解析 ∵OA+OC=OB+OD,∴OA-OB=OD-OC,∴BA=CD,因此四边形ABCD一定为平行四边形.16.答案 -23e1+512e2解析 如图,MN=CN-CM=CN+2BM=CN+23BC=-14AC+23(AC-AB)=-14e2+23(e2-e1)=-23e1+512e2.四、解答题17.解析 (1)∵2a+b=(2,4)+(-3,1)=(-1,5),∴|2a+b|=(-1)2+52=26,2分∴与2a+b同向的单位向量e=1|2a+b|(2a+b)=-2626,52626.4分(2)设c=λa+μb(λ,μ∈R),则-3,-113=λ(1,2)+μ(-3,1)=(λ-3μ,2λ+μ),6分∴-3=λ-3μ,-113=2λ+μ,解得λ=-2,μ=13,8分∴c=-2a+13b.10分18.解析 (1)∵a=(-3,2),b=(2,1),∴a+tb=(2t-3,t+2),2分∴|a+tb|=(2t-3)2+(t+2)2=5t2-8t+13(t∈R),5分∴当t=45时,|a+tb|的最小值为755.7分(2)∵a-tb=(-3-2t,2-t),c=(3,-1),a-tb与c共线,9分∴(-3-2t)×(-1)=3(2-t),11分∴t=35.12分19.解析 (1)EF=EA+AD+DF1分=-12AC+AD+23DC=-12(AB+AD)+AD+23AB3分=16AB+12AD.5分(2)以点A为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,6分设AB=a,AD=b,10
则A(0,0),B(a,0),C(a,b),Ea2,b2,F34a,b,8分易得AB=(a,0),BC=(0,b),EF=a4,b2,∴AM=AB+BM=AB+λBC=(a,0)+λ(0,b)=(a,λb),10分∵AM∥EF,∴a4·λb=a·b2,解得λ=2.12分20.解析 (1)6a+b-2c=6(3,2)+(-1,3)-2(5,2)=(18,12)+(-1,3)-(10,4)=(7,11).3分(2)∵a=mb+nc,∴(3,2)=m(-1,3)+n(5,2)=(-m+5n,3m+2n),5分∴-m+5n=3,3m+2n=2,解得m=417,n=1117.8分(3)a+kc=(3,2)+k(5,2)=(3+5k,2+2k),2b-a=2(-1,3)-(3,2)=(-5,4).10分∵(a+kc)∥(2b-a),∴4×(3+5k)-(-5)×(2+2k)=0,解得k=-1115.12分21.解析 (1)∵a=(1,1),b=(1,0),∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),1分f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).3分(2)设c=(s,t),则f(c)=(t,2t-s)=(p,q),∴t=p,2t-s=q,∴s=2p-q,t=p.5分∴c=(2p-q,p).6分(3)证明:设d=(a1,a2),e=(b1,b2),8分则md+ne=(ma1+nb1,ma2+nb2),9分∴f(md+ne)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).∵mf(d)=m(a2,2a2-a1),nf(e)=n(b2,2b2-b1),∴mf(d)+nf(e)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1).11分10
∴f(md+ne)=mf(d)+nf(e)恒成立.12分22.解析 设OA=v0,OB=v1,OC=v2,由题意可知v2=v0+v1,|OA|=1,易得四边形OACB为平行四边形.(1)当此人朝正南方向游去时,四边形OACB为矩形,且|OB|=AC=3,如图①所示,图①则在Rt△OAC中,|v2|=OC=OA2+AC2=2,3分所以tanα=tan∠AOC=31=3,又0°<α<90°,所以α=60°.5分故此人实际前进方向与水流方向的夹角α为60°,v2的大小为2m/s.6分(2)由题意知∠OCB=90°,且|v2|=|OC|=3,BC=|OA|=1,如图②所示,7分图②则在Rt△OCB中,|v1|=OB=OC2+BC2=2,9分tan∠BOC=13=33,0°<∠BOC<90°,所以∠BOC=30°,11分则β=90°+30°=120°.故此人游泳的方向与水流方向的夹角β为120°,v1的大小为2m/s.12分10
