高台一中2022年春学期高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第I卷（选择题60分）一、单选题1．设全集，集合，，则集合()A.B.C.D.2．复数为纯虚数，则实数（）[来源:学科网]A.2B.C.D.3．已知向量，的夹角为，且，，则（）A.B.2C.D.4．下列说法正确的是（）A.若命题，为真命题，则命题为真命题B.“若，则”的否命题是“若，则”C.若是定义在R上的函数，则“是是奇函数”的充要条件D.若命题：“”的否定：“”5．已知变量满足约束条件则的最大值为（）A.B.C.D.6．在等比数列中，若是方程的两根，则的值是（）A．B．C．D．7．为了得到函数的图象,可以将函数的图象（）10/10\nA．向左平行移动个单位B．向右平行移动个单位C．向左平行移动个单位D．向右平行移动个单位8．下列图像中有一个是函数的导数的图像，则（）A.B.C.D.或9．已知：过抛物线的焦点作直线交抛物线于,若，那么等于()A.10B.8C.6D.410．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的，b分别为14，18，则输出的=（）A.2B.4C.6D.811．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是10/10\nA.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm312．已知定义在上的函数是其导数，且满足，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）[来源:学#科#网]A.B.C.D.第II卷（非选择题90分）二、填空题13．的展开式中，的系数为_________．14．两定点的坐标分别为，，动点满足条件，动点的轨迹方程是.15．对于使成立的所以常数中，我们把的最小值叫做的上确界，若正数，且，则的上确界为___________．16．已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的有____________①若，，则②若，则③若，，则④若，则三、解答题17．已知向量，，．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．[来源:Zxxk.Com]10/10\n18．（本小题满分12分）如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．∥，，，．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使//平面？若存在，求出；若不存在，说明理由．19．在数列中，设，且满足，且.（Ⅰ）设，证明数列为等差数列并求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.20．已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)如果是曲线上的任意一点,若以为切点的切线的斜率恒成立,求实数的最小值.21．已知椭圆过点两点．(Ⅰ)求椭圆的方程及离心率；(Ⅱ)设为第三象限内一点且在椭圆上，椭圆与y轴正半轴交于B点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程10/10\n在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为，为曲线上异于极点的动点，点在射线上，且，，成等比数列.（1）求点的轨迹的直角坐标方程；（2）已知，是曲线上的一点且横坐标为，直线与交于，两点，试求的值.23.选修4-5：不等式选讲已知，.（1）若，求不等式的解集；（2）若时，的解集为空集，求的取值范围。10/10\n高三数学（理）答案1-12CACDBCCBBA13．-514．15．16．③17．(1)；(2)．【解析】（1）计算，得到的解析式，将代入解析式计算即可；（2）化简，．，得出，再利用，可得，则可求．试题解析：（1）；（2）∵∴又∵∴∴∴∴18．（1）见解析；（2）；（3）【解析】证明：（1）取中点，连结，．因为，所以．因为四边形为直角梯形，，，所以四边形为正方形，所以．所以平面．所以．4分（2）因为平面平面，且，所以平面，所以．由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．因为三角形为等腰直角三角形，所以，设，所以．所以，平面的一个法向量为．设直线与平面所10/10\n成的角为，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．8分（3）存在点，且时，有//平面．证明如下：由，，所以．设平面的法向量为，则有所以取，得．因为，且平面，所以//平面．即点满足时，有//平面．12分19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）证明：由已知得，得，，又，，是首项为1，公差为1的等差数列.（Ⅱ）由（1）知，，.，两边乘以2，得，10/10\n，两式相减得，.20．（Ⅰ）的单调递增区间为,单调递减区间为；（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ),定义域为,则.因为,由得,由得,所以的单调递增区间为,单调递减区间为.(Ⅱ)由题意,以为切点的切线的斜率满足,∴对恒成立.又当时,,∴的最小值为.[来源:学科网ZXXK]21．（Ⅰ），离心率：；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题意得：.所以椭圆的方程为：.又∵[来源:学科网ZXXK]∴离心率.(Ⅱ)设（，），则．又∵，，∴直线的方程为．10/10\n令，得，从而．直线的方程为．令，得，从而．∴四边形的面积．∴四边形的面积为定值．22.解：（1）设，，则由成等比数列，可得，即，．又满足，即，[来源:学科网]∴，化为直角坐标方程为．（2）依题意可得，故，即直线倾斜角为，∴直线的参数方程为代入圆的直角坐标方程，得，故，，∴．23.解：(1)当时，化为，10/10\n当，不等式化为，解得或，故；当时，不等式化为，解得或，故；当，不等式化为，解得或故；所以解集为或．(2)由题意可知，即为时，恒成立．当时，，得；当时，，得，综上，10/10
