永昌一中2022-2022学年第一学期高三期末考试试卷数学（理）第I卷（选择题,共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（）A.B.C.D.3．已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．44．设是将函数向左平移个单位得到的，则等于（）A.B.CD5．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A.B.C.D．112\n6已知是公差不为的等差数列的前项和，且成等比数列，则等于（）A．10B．8C．6D．47.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是()A．B．C．D．8.设变量满足约束条件,则目标函数取值范围是()A．B．C．D．9.已知，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为()A．-5B．-4C．-3D．-210.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则（）A．5B．4C．3D．211已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上，球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（）A．B．C．Ｄ．12.函数的导函数为，对任意的，都有成立，则（）A.B.12\nC.D.与的大小不确定第二卷（共90分）二、填空题（共20分）13过点与曲线相切的直线方程是14.设，则二项式展开式中含项的系数是.15.若函数()满足且时，,函数,则函数在区间内零点的个数有个.16．下列结论中正确命题的序号是(写出所有正确命题的序号）.①某班60名学生，一次考试数学成绩,若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为9人；②若，则与的夹角为钝角；③若，则不等式成立的概率是；④函数的最小值为2．三、解答题17（本小题满分12分）在中，角所对的边分别为，已知，（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的取值范围..18．（本小题满分12分）甲、乙、丙、丁4名同学被随机地分到三个社区参加社会实践，要求每个社区至少有一名同学．（Ⅰ）求甲、乙两人都被分到社区的概率；（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个社区的概率；（Ⅲ）设随机变量为四名同学中到社区的人数，求的分布列和的值．12\n19．（本小题满分12分）第19题如图，已知在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，是线段上的点．（I）当是的中点时，求证：平面；（II）要使二面角的大小为，试确定点的位置．20.(本小题满分12分)已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．.21.（本小题满分12分）已知.（Ⅰ）求函数在上的最小值；（Ⅱ）对一切恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）证明：对一切，都有成立.12\n[选做题]：你选做的是_____.22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知是半圆的直径，是延长线上一点，切半圆于点，于点，于点，若，求的长..s.5.u.c.o.m23．（10分）已知圆的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），点的极坐标为，设直线与圆交于点（1）写出圆的直角坐标方程；（2）求的值.24．（10分）函数．（1）若，求函数的定义域；（2）设，当实数时，求证：．u.c.o.m12\n高三数学（理）第一卷（选择题共60分）123456789101112BAADBBDBBCDA第二卷（共90分）二、填空题（共20分）1314-19215.1216①③三、解答题17.【解析】（Ⅰ）由条件结合正弦定理得，从而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（当且仅当时等号成立）∴（，又，∴，从而的取值范围是.．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：.∴，，.∵，∴，即（当且仅当时，等号成立）12\n从而的取值范围是12分18.【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时到社区为事件，那么，即甲、乙两人同时到社区的概率是．………………2分（Ⅱ）记甲、乙两人在同一社区为事件，那么，……………4分所以，甲、乙两人不在同一社区的概率是．……………6分（Ⅲ）随机变量可能取的值为1，2．事件“”是指有个同学到社区，则．………………8分所以，………………10分的分布列是：∴．………………12分（19）解：【法一】（I）证明：如图，取的中点，连接．由已知得且，又是的中点，则且，是平行四边形，∴又平面，平面平面（II）如图，作交的延长线于.12\n连接，易证得得，是二面角的平面角．即，设，由可得故，要使要使二面角的大小为，只需【法二】（I）由已知，两两垂直，分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系．则，，则，，，[Z,xx,k.Com]设平面的法向量为则，令得………………………………………由，得又平面，故平面（II）由已知可得平面的一个法向量为，设，设平面的法向量为则，令得由，故，要使要使二面角的大小为，只需12\n20.解析】（Ⅰ）由题意知，∴，即，又，∴，故椭圆的方程为.……………………………………………………………4分（Ⅱ）设，由得，，.…………………………………………………………7分....................................8分,,,,12分12\n21【解析】（Ⅰ）.当单调递减，当单调递增2分，即时，；………………4分，即时，在上单调递增，．所以.……………………………………4分（Ⅱ），则，设，则，………………6分①单调递减，②单调递增，所以，对一切恒成立，所以.………………8分（Ⅲ）问题等价于证明，由（Ⅰ）可知的最小值是，当且仅当时取到…………10分设，则，易知，当且仅当时取到，12\n从而对一切，都有成立.………………12分[选做题]22.设圆的半径为r，AD＝x，连结OD，得OD⊥AC．故＝，即＝，故x＝r．又由切割线定理AD2＝AE·AB，即r2＝（10－2r）×10，故r＝．由射影定理知DF＝3．23．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）在极坐标方程的两边同时乘以，然后由，即可得到圆的直角坐标方程；（2）将直线的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去、得到有关的参数方程，然后利用韦达定理求出的值.（1）由，得，，即，即圆的直角坐标方程为；（2）由点的极坐标得点直角坐标为，12\n将代入消去、，整理得，设、为方程的两个根，则，所以.考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理24.【答案】（1）≤或≥;（2）参考解析【解析】试题分析：（1）由，绝对值的零点分别为-1和-2.所以通过对实数分三类分别去绝对值可求得结论.（2）由（1）可得定义域A.又，当实数，，所以可以求得实数，的范围.需求证：，等价于平方的大小比较，通过求差法，又即可得到结论.（1）由解得≤或≥．5分（2），又．及，．．．10分考点：1.绝对值不等式.2.求差法比较两个数的大小.12
