河南省濮阳市2022-2022年下学期高二期末考试数学（理）试题考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项正确）1.若复数z满足zi=1-i，则z等于[]A．-1-iB．1-iC．-1+iD．1+i2.以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题有（ ）_．A.0B.1C.2D.33.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为( )A．0.5B．1C．2D．44.若函数(x>2)在x=a处取最小值，则a为A.B.1+C.3D.45.小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（ ）B.C.D.6.抛物线y=x2在A（1，1）处的切线与y轴及该抛物线所围成的图形面积为（ ）A.B.C.1D.27.若(的展开式中第四项为常数项，则n=()A.4B.5C.6D.78.设双曲线=1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）A.B.y=C.y=D.y=9.已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（ ）A.B.1C.D.10.设是公差不为0的等差数列a=2,a,a，a成等比数列，则的前n项和S=A.B.C.D.8\n11.下列四个命题中①②设回归直线方程为=2-2.5x,当变量x增加一个单位时y大约减少2.5个单位；③已知服从正态分布N(0,)且P（-2=0.4则P(>2)=0.1④对于命题P:0则p：<0.其中错误的命题个数是A.0B.1C.2D.312.已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），且当x≠2时其导函数f'（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（ ）A．f（2）＜f（3）＜f（loga）B．f(3)＜f(loga)＜f(2)C．f(loga)＜f(3)＜f(2)D．f(loga)＜f(2)＜f(3)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.若对任意实数p，不等式px+(p-3)x-3>0成立，则实数x的取值范围为14.已知实数x,y满足不等式组，则z=2x+y的最大值是.15.计划在4个不同的体育馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个场馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有（ ）16.观察下列等式可以推测：三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=，b=2．（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．8\n18．（本题满分12分）已知等差数列{a}满足a=0，a+a=-10（I）求数列{a}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．19．（本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．（Ⅰ）证明：PA⊥BD；（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值．20．（本题满分12分）某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，今X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．（1）求X的分布列；（2）求此员工月工资的期望．8\n21．（本题满分12分）已知点A(1，)是离心率为的椭圆C：=1(a＞b＞0)上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．22．（本题满分12分）已知函数（1）当a=1时，求函数f(x)的单调区间（2）当a>0时，若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2，求a的取值范围；（3）若对于任意x,x,x<x且恒成立，求a的取值范围高中二年级升级考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题ACCCA,ABCCA,CC二、填空题13.（-3，-1）14.615.6016.n2(n＋1)2三、解答题17.解 (1)因为cosB＝，所以sinB＝.由正弦定理＝，可得＝，所以a＝.…..4分(2)因为△ABC的面积S＝ac·sinB，sinB＝，所以ac＝3，ac＝10.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得4＝a2＋c2－ac＝a2＋c2－16，即a2＋c2＝20.所以(a＋c)2－2ac＝20，(a＋c)2＝40.所以a＋c＝2……………10分18.解 (1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得故数列{an}的通项公式为an＝2－n.…………………………..4分8\n(2)设数列的前n项和为Sn，∵＝＝－，∴Sn＝－.记Tn＝1＋＋＋…＋，①则Tn＝＋＋＋…＋，②①－②得：Tn＝1＋＋＋…＋－，…………………….8分∴Tn＝－.,即Tn＝4－.∴Sn＝－4＋＝4－4＋＝.........12分说明：直接利用错位相减求对也可以.19.(1)证明 因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.又AD∩PD＝D.所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD.……………………………4分(2)解 如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)．＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1,0,0)．…………..6分设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则即因此可取n＝(，1，)．………………………………….8分设平面PBC的法向量为m，则可取m＝(0，－1，－)，………10分则cos〈m，n〉＝＝－.故二面角APBC的余弦值为－8\n.………………………..12分X01234P20.解 (1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝(i＝0,1,2,3,4)，则X的分布列为……………………6分(2)令Y表示此员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100，2800,3500，则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝，P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝，P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝，E(Y)＝3500×＋2800×＋2100×＝2280，所以此员工月工资的期望为2280元．………………………..12分XYODBA21解：（1），，，，--------------------------4分（2）设直线BD的方程为----①-----②，设为点到直线BD：的距离，，当且仅当时取等号.因为，所以当时，的面积最大，8\n最大值为----------------------------------------8分（3）设，，直线、的斜率分别为：、，则=------*将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，即0-------------------12分22、解：（1）当时，定义域为………………2分令得；令得；所以……………………4分（2）函数的定义域是.……………5分当时，令，即，所以或………………6分①当，即时，在［1，e]上单调递增，所以在［1，e]上的最小值是,符合题意；②当时，即时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；③当时，即时，在［1，e]上单调递减，所以在［1，e]上的最小值是，不合题意。8\n综上可知，的取值范围为.………………8分（3）设，则，只要在上单调递增即可.………………9分而当时，，此时在上单调递增；…………………10分当时，只需在上恒成立，因为，只要，则需要，………………………………11分对于函数，过定点（0，1），对称轴，只需，即.综上.……………………………12分8
