2022—2022学年第一学期高二年级第一次月考数学卷（理科A）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1.若直线ax﹣y+1=0与直线2x+y+2=0平行，则a的值为（）A.﹣2B.﹣1C.D．12.已知平面α，β，直线m，n，下列命题中不正确的是（）A．若m⊥α，m⊥β，则α∥βB.若m∥n，m⊥α，则n⊥αC．若m⊥α，m⊂β，则α⊥βD.若m∥α，α∩β=n，则m∥n3．某公司共有工作人员200人，其中职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，现要从中抽取20个人进行身体健康检查，如果采取分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员各应抽取的人数为（ ）A.16，3，1B.16，2，2C.8，15，7D.12，3，54.“x＞0”是“|x﹣1|＜1”（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量、、两两的夹角均为60°，且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于( )A．5B．6C．4D．86．设等比数列的前项和为，若，则下列式子中数值不能确定的是（）A．B.C.D.7.实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（ ） A．[﹣，]B．[﹣1，]C．[﹣1，1）D．[﹣，1）8.已知圆（x+2）2+y2=16的圆心为M，设A为圆上任一点，N（3，0），线段AN的垂直平分线交直线MA于点P，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线9.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在此椭圆上，则此椭圆的离心率为（）11\nA．B．﹣1C．D．﹣110．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（） A．B．C．D．11.函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于()
（A）2(B)4(C)6(D)812．已知命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：q：不等式＜1+ax对一切正实数x均成立．如果，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值范围为（ ） A．a＞1B．1≤a≤2C．a＞2D．无解二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13在校英语节演讲比赛中，七位评委老师为某班选手打出的分数的茎叶图（如图所示），去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ．14．直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ． 15.在△ABC中，sin（A﹣B）+sinC=，BC=AC，则角B的大小为 ．16．已知双曲线的方程为﹣x2=1，点A的坐标为（0，﹣），B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，点M在双曲线的上支上，则|MA|+|MB|的最小值为 ． 11\n三、解答题（共6小题，满分70分）17已知p：﹣5≤2x﹣1≤5，q：（x+3m﹣2）（x﹣3m﹣2）≤0（m＞0），若¬p是¬q的充分不必要条件，求正实数m的取值范围．18.、已知函数（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，设内角所对的边分别为.若且试求角B的大小.19.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2，AB=BC=1，Q为PD中点．（Ⅰ）求证：PD⊥BQ；（Ⅱ）求直线BQ与平面PCD所成角的正弦值．11\n20.如图1，在△PBC中，∠C=90°，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，AD⊥PB，将△PAD沿AD边折起到SAD位置，如图2，且使SB=．（Ⅰ）求证：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．21.已知椭圆W：+y2=1，直线l过点（0，﹣2）与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点．（Ⅰ）设C为AB的中点，当直线l的斜率为时，求线段OC的长；（Ⅱ）当△OAB面积等于1时，求直线l的斜率．22在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程．(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△11\nOAB的面积；若不存在，请说明理由．11\n2022—2022学年第一学期高二年级第一次月考数学卷（理科A）参考答案一．选择题题号123456789101112答案ADABACDCDDBB二．填空题13。14。20π15．16解答：解：设点D的坐标为（0，），则点A，D是双曲线的焦点，由双曲线的定义，得|MA|﹣|MD|=2a=4．∴|MA|+|MB|=4+|MB|+|MD|≥4+|BD|，又B是圆（x﹣）2+y2=1上的点，则圆的圆心为C（，0），半径为1，故|BD|≥|CD|﹣1=﹣1=﹣1，从而|MA|+|MB|≥4+|BD|≥+3，当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|+|MB|的最小值为+3．故答案为：+3．点评：熟练掌握双曲线的定义和性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键．三．解答题17.解法一：则￢p：A={x|x＜﹣2或x＞3}，￢q：B={x|x＜2﹣3m或x＞2+3m，m＞0．由已知￢p是￢q的充分不必要条件，￢q不能推出￢p，得A⊊B．，解得．∴所求实数m的取值范围是．解法二：解不等式可求得：p：A={x|﹣2≤x≤3}，q：B={x|2﹣3m≤x≤2+3m}（m＞0）．￢p是￢q的充分而不必要条件，即q是p的充分而不必要条件（或者p是q的必要而不充分条件）．由已知q⇒p，p不能推出q，得B⊊A．，解得．经验证（上述不等式组中等号不能同时成立），∴所求实数m的取值范围是{x|}．18．11\n19.（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AD⊥AB，如图，建立以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴的空间直角坐标系．…（2分）由已知，PA=AD=2，AB=BC=1，AD∥BC．所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）…（4分）又Q为PD中点，所以Q（0，1，1）．所以=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，1），所以•=0，…（6分）所以PD⊥BQ．…（7分）（Ⅱ）解：设平面PCD的法向量为=（a，b，c），则∵=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），∴，…（9分）令c=1，得a=b=1，∴=（1，1，1）．…（11分）11\n∵=（﹣1，1，1），∴直线BQ与平面PCD所成角的正弦值为=．…（12分）20分析：（Ⅰ）证明SA⊥AB，SA⊥AD，即可证明SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，证明∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，求出MA，MD，即可求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：在直角三角形PBC中，PC=4，BC=3，PD：DC=5：3，所以PB=5，PD=2.5，DC=1.5，因为∠PAD=∠C=90°，∠P=∠P，所以△PAD∽△PCB，所以，所以PA=2，AB=PB﹣PA=3，AD=1.5，△SAB中，SA=PA=2，SB=，所以SA2+AB2=SB2，所以SA⊥AB因为AD∥PB，所以SA⊥AD，因为AB∩AD=A，所以SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）解：在图2中，延长BA，CD相交于P，连接SP，取SP的中点M，连接MA，MD，则因为PA=SA，PD=SD，所以MA⊥SP，MD⊥SP，所以∠AMD为平面SAB与平面SCD所成锐二面角的平面角，因为SA⊥AD，AD⊥PB，SA∩PB=A，所以AD⊥平面SPB，因为MA⊂平面SPB，所以AD⊥MA．在直角三角形SPA中，PA=SA=2，M为SP的中点，11\n所以SP=2，MA=，在△SPD中，PD=SD=2.5，M为SP中点，所以MD=，所以cos∠AMP==，所以平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为．21.解答：解：（Ⅰ）当直线l的斜率为时，直线l的方程为y=x﹣2．…（1分）代入椭圆方程得5x2﹣12x+6=0，…（2分）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．则，…（3分）所以点C的坐标，，…（4分）所以．…（5分）（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，由得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，…所以△=（16k）2﹣48（1+4k2）=16（4k2﹣3）…，．…==．…原点O到直线l的距离．11\n所以△OAB面积为．因为△OAB面积等于1，所以，…解得，…带入判别式检验，符合题意，所以．…（12分）22解 (1)∵e2＝＝＝，∴a2＝3b2，∴椭圆方程为＋＝1，即x2＋3y2＝3b2.设椭圆上的点到点Q(0,2)的距离为d，则d＝＝＝＝，∴当y＝－1时，d取得最大值，dmax＝＝3，解得b2＝1，∴a2＝3.∴椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)假设存在点M(m，n)满足题意，则＋n2＝1，即m2＝3－3n2.设圆心到直线l的距离为d′，则d′<1，d′＝＝.∴|AB|＝2＝2.∴S△OAB＝|AB|d′＝·2·11\n＝.∵d′<1，∴m2＋n2>1，∴0<<1，∴1－>0.∴S△OAB＝≤＝，当且仅当＝1－，即m2＋n2＝2>1时，S△OAB取得最大值.由得∴存在点M满足题意，M点坐标为，，或，11
