2022-2022学年第一学期高二年级第一次月考数学（理科）试题（B）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在等差数列{an}中，a5＋a6＋a7＝15，那么a3＋a4＋…＋a9等于( )．A．21B．30C．35D．402．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( ).7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08B．07C．02D．013．从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示(如图所示)．设甲乙两组数据的平均数分别为甲，乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )．A.甲<乙，m甲>m乙B.甲<乙，m甲<m乙C.甲>乙，m甲>m乙D.甲>乙，m甲<m乙4．不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是( )．A．[－4,4]B．(－4,4)C．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．已知m，n，l是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，给出下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若m⊥l，n⊥l，则m∥n；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中真命题有( )A．0个B．1个 C．2个D．3个6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为( )．A．30°B．60°C．90°D．120°7．已知三棱锥的俯视图与左视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，左视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的主视图可能为( )．4\n8．已知x，y满足条件(k为常数)，若目标函数z＝x＋3y的最大值为8，则k＝( )．A．－16B．－6C．－D．69．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )．A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )．A．(－∞，－2]∪[4，＋∞)B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)C．(－2,4)D．(－4,2)12．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13、已知直线x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，则实数a的值为。14．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N＋)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________．15．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(3b－c)cosA＝acosC，S△ABC＝，则·＝________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)某市统计局就某地居民的月收入调查了104\n000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500))．(1)求居民收入在[3000,3500)的频率；(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2500，3000)的这段应抽取多少人？18．(本小题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝.(1)求的值；(2)若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.19．(本小题满分12分)已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋log2，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47<0成立的n的最小值．20．(本小题满分12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．4\n(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.21．(本小题满分12分)已知函数．（1）当a=4时，求函数f（x）的最小值；（2）解关于x的不等式f（x）＞a+3；（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，点A（0，3），设圆C的半径为1，圆心C（a，b）在直线l：y=2x﹣4上．（1）若圆心也在直线y=﹣x+5上，求圆C的方程；（2）在（1）的条件下，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（3）若圆C上存在点M，使|MA|=|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．4\n\n2022-2022学年第一学期高二年级第一次月考数学（理科）试题（B）参考答案一、选择题：CDBDABCBBADB二、填空题:13.114.3∶215.3016.－1三、解答题；17．解 (1)月收入在[3000,3500)的频率为0．0003×(3500－3000)＝0.15.(2)∵0.0002×(1500－1000)＝0.1，0．0004×(2000－1500)＝0.2，0．0005×(2500－2000)＝0.25，0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，∴样本数据的中位数为2000＋＝2000＋400＝2400(元)．(3)居民月收入在[2500,3000)的频数为0.25×10000＝2500(人)，再从10000人中用分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2500，3000)的这段应抽取100×＝25(人)．18.解 (1)由正弦定理，设＝＝＝k，则＝＝.所以＝.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此＝2.(2)由＝2，得c＝2a.由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，得4＝a2＋4a2－4a2×，解得a＝1，从而c＝2.又因为cosB＝，且0<B<π，所以sinB＝.因此S＝acsinB＝×1×2×＝.19.解 (1)设等比数列{an}的公比为q，依题意，有即由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝1或q＝2.当q＝1时，不合题意，舍去；当q＝2时，代入②得a1＝2，所以an＝2·2n－1＝2n.故所求数列{an}的通项公式an＝2n(n∈N＋)．(2)bn＝an＋log2＝2n＋log2＝2n－n.所以Sn＝2－1＋22－2＋23－3＋…＋2n－n＝(2＋22＋23＋…＋2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝－＝2n＋1－2－n－n2.因为Sn－2n＋1＋47<0，\n所以2n＋1－2－n－n2－2n＋1＋47<0，即n2＋n－90>0，解得n>9或n<－10.因为n∈N＋，故使Sn－2n＋1＋47<0成立的正整数n的最小值为10.20.(1)证明 由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD平面A1BD，B1D1⃘平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明 ∵BB1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解 当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.证明如下：取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.21、解：（1）∵a=4，∴，当x=2时，取得等号，当x=2时，f（x）min=6．…（4分）（2）由题意得，∴x2+2x+a＞（a+3）x，∴x2﹣（a+1）x+a＞0，∴（x﹣1）（x﹣a）＞0，当a≤1，不等式的解为x＞1，即不等式的解集为（1，+∞），当a＞1，不等式的解为x＞a，即不等式的解集为（a，+∞）．…（38分）（3），等价于a＞﹣x2﹣2x，当x∈[1，+∞）时恒成立，令g（x）=﹣x2﹣2x，则当x∈[1，+∞）时，g（x）的最大值为g（1）=﹣1﹣2=﹣3，∴a＞﹣3∴a的取值范围（-3，+∞）…（12分）22.解答：（1）由 得圆心C为（3，2），∵圆C的半径为1，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1…（3分）（2）由题意知切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，即kx﹣y+3=0∴∴∴2k（4k+3）=0∴k=0或者∴所求圆C的切线方程为：y=3或者即y=3或者3x+4y﹣12=0…（7分）（3）设M为（x，y），由整理得直线m：y=\n∴点M应该既在圆C上又在直线m上，即：圆C和直线m有公共点∴，∴终上所述，a的取值范围为：…（12分）
