广州市2022-2022学年第二学期期末教学质量监测高一数学一、选择题：本大题共小题，每小题分，满分分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．已知角的终边经过点，则的值是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．若函数，则是Ａ．最小正周期为的奇函数Ｂ．最小正周期为的奇函数Ｃ．最小正周期为的偶函数Ｄ．最小正周期为的偶函数4．化简Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．11\n6．在等差数列中，已知，则Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，故选答案C7．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，所得图象的函数解析式是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．故选答案B8．在中，是以为第三项、为第七项的等差数列的公差，是以为第三项、为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是Ａ．钝角三角形Ｂ．等腰直角三角形Ｃ．锐角三角形Ｄ．等腰三角形故选答案C11\n9．函数在区间的简图是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10．在中，点在上，且，点为中点，若，则Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.二、填空题：本大题共小题，每小题分，满分分.11．已知三个正数成等比数列，其中,,则.11\n12．已知，则的最小值为.13．在边长为的正三角形ABC中，设，则.14．给出下列命题：①存在实数,使；②函数是偶函数；③是函数的一条对称轴的方程；④若是第一象限的角，且，则.其中正确命题的序号是.三、解答题：本大题共小题，满分分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（本小题满分12分）已知向量（1）求；（2）当为何实数时,与平行,平行时它们是同向还是反向？（本小题主要考查向量的基本概念和性质，考查向量的坐标运算的能力等）解：（1）………………………………………..2分∴==.………………………………………..4分11\n（2）………………………………..6分设，则………………….8分∴………………………………………………………10分解得.……………………………………………………….11分故时,与反向平行…………………………………….12分16．（本小题满分12分）在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他在点处看这幅壁画顶端点的仰角为,往正前方走后，在点处看壁画顶端点的仰角为(如图所示).(1)求的长；(2)若小明身高为,求这幅壁画顶端点离地面的高度（精确到，其中）.（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理的应用．本小题满分12分）解：(1)在中，…2分由正弦定理，得,………………………………4分将代入上式，得（………………………6分 (2)在中，...…………8分11\n因为,所以， ……………………………………………9分则， ….……………………………………………..10分所以（）．….……….11分答：的长为；壁画顶端点离地面的高度为． ………12分17．（本小题满分14分）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，已知,.（1）求数列与的通项公式；（2）求与.（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式，考查运算求解能力．）解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由,得,……………………………………………………….2分又,所以………………………………………………………….3分………………………………………………………….5分由,得,…………………………………………………….…….…6分又,所以…………………………………………………….…….…8分…………………………………………………………………….…….10分（2）……………………………………….12分11\n……………………………………………14分18．（本小题满分14分）已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的单调递增区间；（3）求在上的最值及取最值时的值.（本小题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）因为……………………1分……………………………2分…………………………………3分所以的最小正周期……………………………………..4分（2）因为由,……………….…………6分得………………………………………………..7分所以的单调增区间是……..……………..8分（3）因为，所以……..………...………....9分所以……..………...………...……..………...…….10分所以……...………...……..………...…12分当即时，取得最小值1.……..………...11\n13分当即时，取得最大值4.……..………...……...14分19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点满足约束条件：．（1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域(用阴影表示,并注明边界的交点)；（2）设，求的取值范围；（3）已知两点，求的最大值．（本小题主要考查线性规划，直线的斜率,向量的坐标运算等基础知识与基本技能,考查用数形结合的思想方法解决综合问题的能力．）解：（1）由得，................................................1分由得，..........................................2分由得，...........................................3分画出可行域，如右下图所示...................................................................4分11\n（2）．………………………………………………………...……5分当直线与直线重合时，倾斜角最小且为锐角,此时;…………6分当直线与直线重合时，倾斜角最大且为锐角，此时;………..7分所以的取值范围为.………………………………………………8分（3），……………………………………....…..10分设，则，……………………………………………..…11分表示直线在轴上的截距，………………………………………12分当直线经过点时，取到最大值，………………………………13分这时的最大值为.………………………………………….14分20．（本小题满分14分）数列满足：．为数列的前项和．（1）求证：数列为等差数列；（2）设,求数列的前项和；（3）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，有恒成立．（本小题主要考查等差数列、等比数列及前11\n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、分类讨论的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．）解：（1）由，得（，），……………1分即（，），且．……………………2分∴数列是以为首项，公差为1的等差数列．…………………3分（2）由（1）知．……………………………………………………………4分所以,,,两式相减得………………………………6分所以.……………………………………………………………8分（3）,要使,只要恒成立,即恒成立，即恒成立．…………………………………………………9分当为奇数时，即恒成立…………………………………………10分当且仅当时，有最小值为1，∴．………………………11分当为偶数时，即恒成立…………………………………………12分当且仅当时，有最大值，∴．……………………13分11\n即，又为非零整数，则……………………………14分综上所述，存在，使得对任意，都有．………14分11
