山西省忻州市第一中学2022届高三数学上学期期末考试试题理一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知集合M={yÎR∣y=x2}，N={xÎR∣x2+y2=2}，则M∩N=()A．{(-1,1),(1,1)}B．{1}C．[0,1]D．[0,]2．复数2+i的实部与复数1-2i的虚部的和为（）A．0B．2-2iC．3-iD．1+3i开始i=1,S=0S≤20S=S+i是否输出结束i=i+13．右面程序框图表示的算法是：求1+2+3+4+…+n>20时n的最小值，则输出框中应填（）A．iB．i+1C．i-1D．nx0123ym35.574．已知x与y之间的一组数据：已求得关于y与x的线性回归方程为＝2.1x＋0.85，则m的值为（）A．1B．0.85C．0.7D．0.55．已知对于正项数列{an}满足am+n=aman(m,nÎN*)，若a2=9，则log3a1+log3a2+……+log3a12=（）A．40B．66C．78D．1566．函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ）A．B．C．0D．-7．设a>0，b>1，若a+b=2，则+的最小值为（）11\nA．3+2B．6C.4D.28．函数f(x)＝的图象大致为（）9．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为，++=，则向量在方向上的投影为（）A．B．3C．-D．-310．已知点P(x，y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过点P(x，y)引圆C：(x-)2+(y+)2=1的切线，则此切线长等于（ ）A．1B.C.D．211．已知、是双曲线的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为()A．3B.C．2D.12．已知函数f(x)=，若函数y=f(x)+x有且只有一个零点，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,-1]B.(-∞,-1)C.(-1,+∞)D.[-1,+∞)11\n二、填空题（每小题5分，共20分）13．(+)12展开式中有理项共有 项．14．已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值 ．15．已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为________.22正视图侧视图俯视图16．已知函数f(x)＝x3＋sinx，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________．三、解答题（共70分）17．（本小题满分12分）已知A,B分别在射线CM,CN（不含端点C）上运动，∠MCN=π，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c．（1）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2．求c的值；（2）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．（本小题满分12分）在一次对某班42名学生参加课外篮球、排球兴趣小组（每人参加且只参加一个兴趣小组）情况调查中，经统计得到如下2×2列联表：（单位：人）篮球排球总计男同学16622女同学81220总计241842（Ⅰ）据此判断是否有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关？（Ⅱ）在统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从两个兴趣小组中随机抽取7名同学进行座谈．已知甲、乙、丙三人都参加“排球小组”．①求在甲被抽中的条件下，乙丙也都被抽中的概率；②设乙、丙两人中被抽中的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.00111\nk02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：19．（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧棱底面，，是棱上动点，是中点，，，。（1）若是棱中点时，求证：∥平面；（2）若二面角的余弦值是，求的长.20.（本小题满分12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得·=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）证明：.22．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分)如图AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点．（I）求证：DE2=DB×DA；（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长．23．选修4-4:坐标系与参数方程（本小题满分10分)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ曲线C2的参数方程是（t为参数，0≤α<π），射线θ=φ,θ=φ+,,θ=φ-(-<φ<)与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.(I)求证：∣OB∣+∣OC∣=∣OA∣；11\n(II)当φ=时，B,C两点在曲线C2上，求m与α的值.24．选修：不等式选讲（本小题满分10分）设f(x)=∣x-a∣,a∈R（I）当-1≤x≤3时，f(x)≤3,求a的取值范围；（II）若对任意x∈R，f(x-a)+f(x+a)≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．11\n忻州一中2022¾2022学年度第一学期期末考试高三 数学试题（理科）命题人：李德亭 侯毅二、填空题（每小题5分，共20分）三、解答题（共70分）17解：（1）∵、、成等差，且公差为2，、.又∵，∴，，，……（4分）恒等变形得，解得或.又∵，.……（6分）（2）在中，，，，.……（8分）的周长，……（10分）又∵，,当即时，取得最大值．……（12分）18.【解析】（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值11\nk≈4.582>3.841.……2分所以，据此统计有95%的把握认为参加“篮球小组”或“排球小组”与性别有关．……4分（Ⅱ）①由题可知在“排球小组”的18位同学中，要选取3位同学．方法一：令事件A为“甲被抽到”；事件B为“乙丙被抽到”，则P(A∩B)，P(A).所以P(B|A).……7分方法二：令事件C为“在甲被抽到的条件下，乙丙也被抽到”，则P(C).②由题知X的可能值为0，1，2.依题意P(X0)；P(X1)；P(X2).从而X的分布列为X012P……10分于是E(X)0×＋1×＋2×=.……12分（2）解：以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则7分设平面的法向量11\n则，得8分平面是平面的法向量，则平面的法向量10分的平面角的余弦值为，则解得12分20.【解析】（1）由题意，c=1∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：2a=，∴a=∴b2=a2﹣c2=1，∴椭圆C的标准方程为；（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴∴m=或m=②由①②可得m=．下面证明m=时，恒成立当直线l的斜率为0时，结论成立；当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）11\n直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t（y1+y2）+=+=﹣综上，x轴上存在点Q（，0），使得·=-恒成立.21.解：（1），设则，且上单调递增。当时，从而单调递减；当从而单调递增。因此，上单调递减，在上单调递增。6分（2）原不等式就是即，令则在上单调递增。当时，当时，所以当且时，分∴DE=DF，∵DF是⊙O的切线，……6分11\n（II）设AE=x，则DE=2x，DF=2x，解得2x=3，∴DF的长为3． …10分23解：（1）依题意，2分则5分（2）当时，两点的极坐标分别为化为直角坐标为7分是经过点倾斜角为的直线，又经过的直线方程为9分所以10分11\n11
