二元一次不等式组与简单的线性规划问题【知识网络】1、二元一次不等式组以及可化成二元一次不等式组的不等式的解法；2、作二元一次不等式组表示的平面区域，会求最值；3、线性规划的实际问题和其中的整点问题。【典型例题】例1：（1）已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线的异侧，则（）A．B．0C．D．答案:D。解析：将（1，2）代入得小于0，则。（2）满足的整点的点（x，y）的个数是（）A．5B．8C．12D．13答案：D。解析：作出图形找整点即可。（3）不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0表示的平面区域是（）答案：C。解析：原不等式等价于两不等式表示的平面区域合并起来即是原不等式表示的平面区域．（4）设实数x,y满足，则的最大值为．答案:。解析：过点时，有最大值。（5）已知，求的取值范围．答案：。解析：过点时有最小值5，过点（3，1）时有最大值10。,例2：试求由不等式y≤2及|x|≤y≤|x|＋1所表示的平面区域的面积大小．答案:解：原不等式组可化为如下两个不等式组：①或②上述两个不等式组所表示的平面区域为如图所示的阴影部分．它所围成的面积S＝×4×2－×2×1＝3．例3：已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．(Ⅰ)求函数g(x)的解析式；(Ⅱ)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围。答案:(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则∵点在函数的图象上∴（Ⅱ）①②ⅰ）ⅱ）例4：要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数量少？,答案:：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，则且x，y都是整数．求目标函数z＝x＋y取得最小值时的x，y的值．如图，当x＝3，y＝9或x＝4，y＝8时，z取得最小值．∴需截第一种钢板3张，第二种钢板9张或第一种钢板4张，第二种钢板8张时，可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少．【课内练习】1．双曲线的两条渐近线及过（3，0）且平行其渐近线的一条直线与x=3围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）A、B、C、D、答案：A。解析：双曲线的两条渐近线方程为，过（3，0）且平行于的直线是和，∴围成的区域为A。2．给出平面区域如下图所示，其中A（5，3），B（1，1），C（1，5），若使目标函数z=ax+y(a>0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．C．2D．答案:B。解析：，即。3．设集合是三角形的三边长，则所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是(),答案:A。解析：，故选A4．某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元．在满足需要的条件下，最少要花费元．答案:500。解析：设需第一种原料x袋，第二种原料y袋，，令，∴过（1，3）时元。5．已知，求的最大值为。答案：21。解析：可行域如图，当时，，于是可知可行域内各点均在直线的上方，故，化简得并平行移动，当过C（7，9）时，。6．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下表所示：类型A规格B规格C规格第一种钢板121第二种钢板113每张钢板的面积,第一种为,第二种为,今需要A、B、C三种规格的成品各12、15、27块,问各截这两种钢板多少张,可得所需三种规格成品,且使所用钢板面积最小？答案：解：设需截第一种钢板张,第二种钢板张,所用钢板面积为,则有作出可行域(如图)目标函数为,作出一组平行直线(t为参数).由得由于点不是可行域内的整数点,而在可行域内的整数点中,点(4,8)和点(6,7)使最小,且.答:应截第一种钢板4张,第二种钢板8张,或第一种钢板6张,第二种钢板7张,得所需三种规格的钢板,且使所用的钢板的面积最小.7．已知3≤x≤6，x≤y≤2x，求x＋y的最大值和最小值．答案：原不等式组等价于作出其围成的区域如图所示，将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．∴(x＋y)min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18．即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．8．一家饮料厂生产甲、乙两种果汁饮料，甲种饮料的主要配方是每3份李子汁加一份苹果汁，乙种饮料的配方是李子汁和苹果汁各一半．该厂每天能获得的原料是李子汁和苹果汁，又厂方的利润是生产甲种饮料得3元，生产乙种饮料得4元．那么厂方每天生产甲、乙两种饮料各多少，才能获利最大？答案:（1）列表李子汁苹果汁获得利润分配方案甲3/41/43元乙1/21/24元受限条件2000L1000L（2）线性约束条件（3）作出可行域：图略。（4）构建目标函数，即（5）求出满足条件的最大值：时，取到最大值100009．预算用2000元购买单价为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1．5倍，问桌、椅各买多少才行？答案:：设桌、椅分别买x，y张，则,且x，y∈N*由解得∴点A的坐标为（）．由解得∴点B的坐标为（25，）．所以，满足约束条件的可行域是图中的阴影部分．由图形直观可知，目标函数z＝x＋y在可行域内的最优解为（25，），但x，y∈N*，故y取37．∴买桌子25，椅子37是满足题设的最好选择．【作业本】3-1yxOA组1．如图所示的平面区域（阴影部分），用不等式表示为（）A、B、C、D、答案:C。解析：用（0，0）代入验证。2．设点，其中，满足的点的个数为（）A、10个B、9个C、3个D、无数个答案:A。解析：x,y可取0，1，2，3且满足条件即可。3．不等式组，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则（）A．B．C．D．答案：C。解析：代入检验。4．设满足则使得目标函数的值最大的点是．答案:。解析：作出可行域即可发现。5．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为,货物体积（每箱）重量（每箱）利润（每箱）甲5220乙4510托运限制2413答案：4，1。解析：设甲、乙各托运的箱数为x,y，则，∴，当过（4，1）时有最大值。6．试求由不等式|x|＋|y|≤1所表示的平面区域的面积大小．答案:原不等式等价于其表示的平面区域如图中阴影部分．∴S＝()2＝2．7．已知，若函数恒成立，求a+b的最大值。答案：已知恒成立，则作出可行域令，当经过A时，z有最大值，由解得，∴。8．某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品1045已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？答案：设生产A、B两种产品各为x、y吨，利润为z万元，则z＝7x＋12y作出可行域，如图阴影所示．当直线7x＋12y＝0向右上方平行移动时，经过M（20，24）时z取最大值．∴该企业生产A、B两种产品分别为20吨和24吨时，才能获得最大利润．,B组1．若x，y满足约束条件，则x＋2y的最大值为（）A．0B．C．2D．以上都不对答案：C解析：约束条件所表示的可行域如图所示．当直线x＋2y＝0平行移动到经过点（0，1）时，x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．2．已知点与点在直线的两侧，则的取值范围（）A、B、C、D、答案:B。解析：。3．不等式组表示的平面区域的面积为（）A、B、C、D、2答案:B。解析：区域的顶点。4．的三个顶点坐标分别为，则内任意一点所满足的条件为．答案:。解析：分别计算三边的直线方程，然后结合图形可得。5．已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式表示的平面区域内，则b的取值范围是 ．答案：。解析：P（1，—2）关于原点的对称点为（—1，2），∴,。6．已知的三边长满足，，求的取值范围．答案：解：设，，则，作出平面区域（如右图），由图知：，，∴，即．7.已知x、y满足不等式,求z=3x+y的最大值与最小值。答案:最大值3X4-1=-11最小值3X(-4)-1=-138．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．答案:设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元z＝320x＋504y（其中x，y∈Z）作出上述不等式组所确定的平面区域如图阴影所示即可行域．,由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点（5，2）使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×5＋504×2＝2608．∴每天调出A型车5辆，B型车2辆，公司所花成本最低．
