专题7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题一、填空题1．若x，y满足不等式组则z＝3x＋y的最大值为________2．(2022·河南八市高三质检)已知x，y满足约束条件目标函数z＝6x＋2y的最小值是10，则z的最大值是________【解析】由z＝6x＋2y，得y＝－3x＋，作出不等式组所表示可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y＝－3x＋经过点C时，直线的纵截距最小，即z＝6x＋2y取得最小值10，由解得即C(2，－1)，将其代入直线方程－2x＋y＋c＝0，得c＝5，即直线方程为－2x＋y＋5＝0，平移直线3x＋y＝0，当直线经过点D时，直线的纵截距最大，此时z取最大值，由得即D(3,1)，将点D的坐标代入目标函数z＝6x＋2y，得zmax＝6×3＋2＝20.3．若x，y满足且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为________5\n4．(2022·安徽江南十校联考)若x，y满足约束条件则z＝y－x的取值范围为________【解析】作出可行域如图所示，设直线l：y＝x＋z，平移直线l，易知当l过直线3x－y＝0与x＋y－4＝0的交点(1,3)时，z取得最大值2；当l与抛物线y＝x2相切时，z取得最小值，由消去y得x2－2x－2z＝0，由Δ＝4＋8z＝0，得z＝－，故－≤z≤2.5．(2022·浙江高考)在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x＋y－2＝0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|＝________6．(2022·山东济南三校联考)已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a的取值范围为________【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：ax＋y＝0，过点(1,1)作l的平行线l′，要满足题意，则直线l′的斜率介于直线x＋2y－3＝0与直线y＝1的斜率之间，因此，－<－a<0，即0<a<.7．若直线y＝2x上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为________．5\n【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x＝m从如图所示的实线位置运动到过A点的虚线位置时，m取最大值．解方程组得A点坐标为(1,2)，∴m的最大值是1.【答案】18．已知实数x，y满足则z＝2x－2y－1的取值范围是________．【答案】9．已知x，y满足则的取值范围是________．【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，因为＝＝1＋，而表示平面区域内的点与点A(4,2)连线的斜率，由图知斜率的最小值为0，最大值为kAB＝＝，所以1＋的取值范围是，即的取值范围是.5\n10．实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．【答案】21【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何含义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．由得B点坐标为(7,9)，显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，此时zmax＝21.二、解答题11．若x，y满足约束条件(1)求目标函数z＝x－y＋的最值；(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．12．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？5\n5
