专题7.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考纲解读】内容要求备注A B C 集合一元二次不等式 √对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A、B、C表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.线性规划 √ 基本不等式 √ 【直击考点】题组一常识题1．不等式组表示的平面区域是________(填序号)．2．不等式组所表示的平面区域的面积等于________．15\n【解析】由题得不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，A，B(1，1)，C(0，4)，则△ABC的面积为×1×＝.3．已知z＝2x＋y，式子中变量x，y满足条件则z的最大值是________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0，当直线l0经过平面区域内的点A(2，－1)时，z取最大值，且最大值为2×2－1＝3.题组二 常错题4．不等式－x＋2y－4＜0表示的平面区域是________.【解析】先画直线－x＋2y－4＝0(画成虚线)，取原点(0，0)，代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以原点在－x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示．5．设x，y满足约束条件且z＝x＋3y＋m的最大值为4，则实数m的值为________．【解析】作出可行域，令m＝0，z＝0得y＝－x.结合图像可知目标函数在(2，2)处取得最大值4，代入可得m＝－4.15\n6．在平面直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．题组三 常考题7．设x，y满足约束条件则z＝2x＋3y－5的最小值为________．【解析】可行域如图所示，联立得A(－1，－1)，平移直线z＝2x＋3y－5，当其过点A时，zmin＝2×(－1)＋3×(－1)－5＝－10.15\n8．若x，y满足约束条件则的最大值为________．由得C(1，3)，由题易知可行域上的C点与坐标原点连线的斜率最大，且最大值为3.9．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元．15\n【知识清单】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域二元一次不等式所表示的平面区域：在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：①直线上的点（x，y）的坐标满足：；②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.考点2求目标函数的最值名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)15\n目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题考点3线性规划的实际应用1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.【考点深度剖析】江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有8个C能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域【1-1】不等式组表示的平面区域是一个 ．【答案】梯形【解析】作出平面区域如图，所以不等式组表示的区域是梯形.15\n【1-2】直线2x+y﹣10=0与不等式组表示的平面区域的公共点有 ．【答案】1个【1-3】若原点O和点在直线x+y=a的两侧，则实数a的取值范围是 ．【答案】【解析】将直线直线变形为直线。因为两点在直线两侧，则将两点代入所得符号相反，即，解得15\n【1-4】已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是【答案】4【1-5】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)满足x0－2y0=2，则m的取值范围是.【答案】【解析】解：不等式组表示的平面区域如下图中的阴影部分所示：15\n【思想方法】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1.判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2.画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.【温馨提醒】二元一次不等式（组）表示平面内的区域，首先正确画出边界直线，然后依据“直线定界，特殊点定域”确定表示的平面区域．考点2求目标函数的最值【2-1】已知实数x，y满足，则z＝4x＋y的最大值为 ．【答案】8【解析】画出可行域，根据图形可知，当目标函数经过A(2，0)点时，z＝4x＋y取得最大值为815\nxAy220【2-2】已知变量x,y满足约束条件则的取值范围是 ．【答案】【2-3】已知变量满足约束条件若目标函数的最大值为1，则.【答案】3【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数过B（4,1）点是取得最大值，所以，所以.【2-4】已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 ．【答案】115\n【2-5】已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于.【答案】【解析】，设,如图：做出可行域15\n【思想方法】确定线性最优解的思维过程：线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.对于非线性最优解问题，应理解其几何意义，结合平面几何知识处理。【温馨提醒】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解.同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理.考点3线性规划的实际应用【3-1】某企业生产A、B两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A产品394B产品104515\n已知生产每吨A产品的利润是7万元，生产每吨B产品的利润是12万元，现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，试问该企业生产A、B两种产品各多少吨，才能获得最大利润？【3-2】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?【解析】设制作x把椅子，y张桌子约束条件：，目标函数：z=15x+20y.如图：目标函数经过A点时，z取得最大值15\n【思想方法】1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系多而杂,可以用列表等方法把关系理清.2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源来完成这项任务.【温馨提醒】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解【易错试题常警惕】含参数的线性规划问题的易错点典例 已知实数x，y满足如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数m＝________.易错分析 题目给出的区域边界“两静一动”，可先画出已知边界表示的区域，分析动直线的位置时容易出错，没有抓住直线x＋y＝m和直线y＝－x平行这个特点；另外在寻找最优点时也容易找错区域的顶点．【答案】5【解析】显然，当m<2时，不等式组表示的平面区域是空集；当m＝2时，不等式组表示的平面区域只包含一个点A(1,1)．此时zmin＝1－1＝0≠－1.显然都不符合题意．15\n温馨提醒 (1)当约束条件含有参数时，要注意根据题目条件，画出符合条件的可行域．本题因含有变化的参数，可能导致可行域画不出来．(2)应注意直线y＝x－z经过的特殊点.[失误与防范]1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．15
