第1章二次函数一、选择题(每题3分，共30分)1．下列函数中，是二次函数的是( )A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝(x＋1)2－x2D．y＝2．抛物线y＝(x－1)2＋1的顶点坐标为( )A．(1，1)B．(1，－1)C．(－1，1)D．(－1，－1)3．二次函数y＝－x2＋2kx＋2的图象与x轴的交点有( )A．0个B．1个C．2个D．以上都不对4．将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )A．y＝－2(x＋1)2－1B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2－1D．y＝－2(x－1)2＋35．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( )A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－1或x＞36．若A，B，C为二次函数y＝x2＋4x－5图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是( )A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y27．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图象可能是( )8．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是( )10
A．6sB．4sC．3sD．2s9．抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b的值是( )A．－5B．4或－4C．4D．－410．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，正方形CDEF的顶点D，F分别在AC，BC边上，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x之间的函数关系的是( )二、填空题(每题3分，共24分)11．抛物线y＝－x2＋15有最________点，其坐标是________．12．如图，二次函数的图象与x轴相交于点(－1，0)和(3，0)，则它的对称轴是直线________．13．已知抛物线y＝x2－x－1与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2022的值为________．14．小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形钢架模型中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形钢架模型的面积S(单位：cm2)随x10
的变化而变化．则S与x之间的函数关系式为________________．15．若a，b，c是实数，点A(a＋1，b)，B(a＋2，c)在二次函数y＝x2－2ax＋3的图象上，则b，c的大小关系是b________c.16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…－10123…y…105212…则当y＜5时，x的取值范围是______________．17．某商店经营一种水产品，成本为每千克40元．经市场调查发现，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量减少10kg，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为______元时，获得的月利润最大．18．如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列结论：①二次三项式ax2＋bx＋c的最大值为4；②4a＋2b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝1的两根之和为－1；④使y≤3成立的x的取值范围是x≥0.其中正确的有________个．三、解答题(19题8分，20、21题每题10分，22、23题每题12分，24题14分，共66分)19．已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方，将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式．(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．20．已知二次函数y＝x2＋bx－c的图象与x轴有两个交点，其坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0)．(1)求证：4c＝3b2.(2)若该二次函数图象的对称轴为直线x＝1，试求该二次函数的最小值．10
21．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．(1)求该二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标．(2)将该二次函数的图象沿x轴向左平移个单位，求当y<0时，x的取值范围．22．某产品每件的成本是120元，在试销阶段，每件产品的售价x(元)与产品的日销售量y(件)的关系如下表：x/元130150165y/件705035(1)若日销售量y(件)是售价x(元)的一次函数，求y与x的函数关系式．(2)若每日获得利润用P(元)表示，求P与x之间的函数关系式．10
(3)当每件产品的售价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？23．如图，有一条双向公路隧道，其截面由一段抛物线和矩形ABCO组成，隧道最高处距地面为4.9m，AB＝10m，BC＝2.4m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，有一辆高为4m、宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁超过多少米才不至于碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为两壁)24．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.(1)求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．(2)若P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．②若点P的横坐标为t(－1＜t＜1)，当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？10
10
答案一、1．B 2．A 3．C4．D 点拨：将抛物线y＝－2x2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为y＝－2(x－1)2＋3.故选D.5．A 6．D 7．C 8．A 9．D10．A 点拨：当0<x≤1时，y＝x2.当1<x≤2时，设ED交AB于点M，EF交AB于点N，CD＝x，则AD＝2－x.∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM＝2－x，∴EM＝x－(2－x)＝2x－2，易知S△ENM＝(2x－2)2＝2(x－1)2，∴y＝x2－2(x－1)2＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2.故应选A.二、11．高；(0，15) 12．x＝113．2023 14．S＝－x2＋20x 15．＜16．0＜x＜4 点拨：由表可知，二次函数图象的对称轴为直线x＝2.∵当x＝0时，y＝5，∴当x＝4时，y＝5，∴当y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4.17．70 点拨：设销售单价为x元，月利润为y元，则y＝(x－40)·[500－10(x－50)]，即y＝－10(x－70)2＋9000(50≤x≤100)，当x＝70时，y有最大值，即获得的月利润最大．18．2 点拨：抛物线开口向下，顶点坐标为(－1，4)，故二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4；当x＝2时，对应的点在x轴下方，故4a＋2b＋c＜0.二次函数的图象与x轴的交点为(1，0)，(－3，0)，则抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1)，将点(0，3)的坐标代入可得a＝－1，令－(x＋3)(x－1)＝1，化简可得x2＋2x－2＝0，它的两根之和为－2.易知当y≤3时，x的取值范围为x≤－2或x≥0.综上所述，结论①②正确．三、19．解：(1)y＝3x2－2x＋4＝3[x2－x＋－]＋4＝3－＋4＝3＋.10
(2)开口向上，对称轴是直线x＝.20．(1)证明：由题意，知m，－3m是一元二次方程x2＋bx－c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得m＋(－3m)＝－b，m·(－3m)＝－c，∴b＝2m，c＝3m2，∴4c＝12m2，3b2＝12m2，∴4c＝3b2.(2)解：由题意得－＝1，∴b＝－2，由(1)得c＝b2＝×(－2)2＝3，∴y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴该二次函数的最小值为－4.21．解：(1)∵把点C(0，－6)的坐标代入抛物线的表达式得c＝－6，把A(－2，0)的坐标代入y＝x2＋bx－6，得b＝－1.∴抛物线的表达式为y＝x2－x－6＝－.∴顶点D的坐标为(，－)．(2)该二次函数的图象沿x轴向左平移个单位得y＝(x＋2)2－的图象．令y＝0，得(x＋2)2－＝0，解得x1＝，x2＝－.∵a>0，∴当y<0时，x的取值范围是－<x<.22．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(130，70)，(150，50)分别代入得解得∴y与x的函数关系式为y＝－x＋200.(2)P＝(x－120)y＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24000(120≤x≤200)．(3)∵P＝－x2＋320x－24000＝－(x－160)2＋1600，∴当每件产品的售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1600元．23．解：如图，由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2.5)，且过点O(0，0)和点C(10，0)，可求出抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋x.用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝mm，直线DG交抛物线于点H，交x轴于点M，则AD＝10－m(m)，HM＝－(10－m)2＋10－m(m)．10
∴HD＝－(10－m)2＋10－m＋2.4(m)．由题意得－(10－m)2＋12.4－m＞4，易得2<m<8.根据公路隧道为双向，汽车宽为2m，易知m≤3.∴2＜m≤3.故汽车的右侧离隧道的右壁超过2m才不至于碰到隧道顶部．24．解：(1)联立方程组解得∴点B的坐标为(－1，1)．又∵点C为点B关于原点的对称点，∴点C的坐标为(1，－1)．∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，∴点A的坐标为(0，－1)．设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，把A，B，C三点的坐标分别代入，得解得∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.(2)①连接PQ.由题易知PQ与BC交于原点O.当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.10
联立方程组解得或∴点P的坐标为(1－，1－)或(1＋，1＋)．②如图，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点E，则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×BC·PD＝BC·PD.∵线段BC的长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．又易知∠PED＝∠AOC(固定不变)，∴当PE最大时，PD也最大．∵点P在抛物线上，点E在直线BC上，∴点P的坐标为(t，t2－t－1)，点E的坐标为(t，－t)．∴PE＝－t－(t2－t－1)＝－t2＋1.∴当t＝0时，PE有最大值，此时PD有最大值，四边形PBQC的面积最大．10
