第2章圆一、选择题(每题3分，共30分)1．下列说法中正确的是( )A．三点确定一个圆B．度数相等的弧相等C．垂直于弦的直径平分弦D．相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等2．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )A．点P在⊙O外B．点P在⊙O内C．点P在⊙O上D．无法确定3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC＝120°，则∠BAC的度数是( )A．70°B．60°C．50°D．30°4．如图，DB切⊙O于点A，∠AOM＝66°，则∠DAM的度数为( )A．130°B．147°C．156°D．160°5．如图，＝＝，OB，OC分别交AC，BD于点E、点F，连接EF，则下列结论中不一定正确的是( )A．AC＝BDB．OE⊥AC，OF⊥BDC．△OEF为等腰三角形D．△OEF为等边三角形6．如图，在平面直角坐标系中，一个圆经过原点O，交坐标轴于点E、点F，OE＝8，OF＝6，则圆的直径长为( )A．12B．10C．14D．157．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ11
的度数为( )A．60°B．65°C．72°D．75°8．如图，秋千拉绳长3m，静止时踩板离地面0.5m．一个小朋友荡秋千，秋千在最高处时，踩板离地面2m(左右对称)，则该秋千所荡过的圆弧长为( )A．πmB．2πmC.πmD.m9．如图，PA，PB分别切⊙O于点A、点B，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C、点D.若△PCD的周长为⊙O半径的3倍，则tan∠APB的值为( )A.B.C.D.10．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3，a)(a＞3)，半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是( )A．4B．3＋C．3D．3＋二、填空题(每题3分，共24分)11．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，∠AOC＝110°，则∠D＝________．12．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，那么∠A＝________．13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD的度数为________．14．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，BE是⊙O的直径，若AC＝3，则DE＝________．11
15．如图，水平放置的圆柱形油槽的截面直径是52cm，装入油后，油深CD为16cm，那么油面宽度AB＝________.16．如图，在△ABC中，AB＝4，∠C＝24°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，且D为BC的中点，则图中阴影部分的面积为________．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为________．18．如图，在⊙O中，C，D分别是OA，OB的中点，MC⊥AB，ND⊥AB，点M，N在⊙O上．下列结论：①MC＝ND；②＝＝；③四边形MCDN是正方形；④MN＝AB.其中正确的有______________．(填序号)三、解答题(19题8分，20、21题每题10分，22、23题每题12分，24题14分，共66分)19．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．(1)若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数．(2)若OC＝3，OA＝5，求AB的长．20．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的一条弦，延长BD到点C，使DC＝BD，连接AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E.(1)求证：AB＝AC.(2)若⊙O的半径为4，∠BAC＝60°，求DE的长．11
21．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长，交直线l于点C，恰有AB＝AC.(1)求证：AB是⊙O的切线．(2)若PC＝2，OA＝5，求⊙O的半径．22．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，CD＝CE.(1)求证：OA＝OB.(2)已知AB＝4，OA＝4，求阴影部分的面积．11
23．如图，一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80m，桥拱到水面的最大高度为20m.(1)求桥拱所在圆的半径．(2)现有一艘宽60m，顶部截面为长方形且高出水面9m的轮船要经过这座拱桥的桥洞，这艘轮船能顺利通过吗？请说明理由．24．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC＝∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.(1)求证：PA是⊙O的切线．(2)过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG·AB＝12，求AC11
的长．(3)在满足(2)的条件下，若AF∶FD＝1∶2，GF＝1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11
答案一、1．C 2．A 3．B 4．B 5．D 6．B7．D 8．B 9．A 10．B二、11．35°12．99° 点拨：易知EB＝EC.而∠E＝46°，所以∠ECB＝67°.从而∠BCD＝180°－67°－32°＝81°.在⊙O中，∠BCD与∠A互补，所以∠A＝180°－81°＝99°.13．60°14．3 点拨：∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠BDC＋∠CDE＝90°.∵AB⊥CD，∴∠ACD＋∠CAB＝90°.∵∠CAB＝∠BDC，∴∠ACD＝∠CDE.∴＝.∴－＝－，即＝.∴DE＝AC＝3.15．48cm16．π 点拨：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴AD⊥BC.∵D为BC的中点，∴AD垂直平分BC，∴AC＝AB，∴∠B＝∠C＝24°，∴∠AOD＝48°.∵AB＝4，∴OA＝2，∴阴影部分的面积＝＝π.17． 点拨：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OB.∵AB，BC是⊙O的切线，∴点E，F是切点，∴OE，OF是⊙O的半径，∴OE＝OF.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，由勾股定理，得BC＝4.∵D是BC边的中点，∴S△ABD＝S△ACD.11
又∵S△ABD＝S△ABO＋S△BOD，∴BD·AC＝AB·OE＋BD·OF，∴×4×3＝5×OE＋×4×OE，解得OE＝，∴⊙O的半径是.18．①②④ 点拨：连接OM，ON，易证Rt△OMC≌Rt△OND，可得MC＝ND，故①正确．在Rt△MOC中，CO＝MO，可得∠CMO＝30°，∴∠MOC＝60°.易得∠MOC＝∠NOD＝∠MON＝60°，∴＝＝，故②正确．易得CD＝AB＝OA＝OM，∵MC＜OM，∴MC＜CD，∴四边形MCDN不是正方形，故③错误．易得MN＝CD＝AB，故④正确．三、19．解：(1)∵OD⊥AB，∴＝.∴∠DEB＝∠AOD＝30°.(2)在Rt△AOC中，OC＝3，OA＝5，由勾股定理得AC＝4.∴AB＝2AC＝8.20．(1)证明：如图，连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∵DC＝BD，∴AB＝AC.(2)解：由(1)知AB＝AC，∵∠BAC＝60°，∠ADB＝90°，∴△ABC是等边三角形，∠BAD＝30°.在Rt△BAD中，∠BAD＝30°，AB＝8，∴BD＝4，即DC＝4.又∵DE⊥AC，∴DE＝DC·sinC＝4·sin60°＝4×＝2.21．(1)证明：如图，连接OB.∵OA⊥l，∴∠PAC＝90°，∴∠APC＋∠ACP＝90°.11
∵AB＝AC，OB＝OP，∴∠ABC＝∠ACP，∠OBP＝∠OPB.∵∠OPB＝∠APC，∴∠ABC＋∠OBP＝90°，即∠OBA＝90°，∴OB⊥AB.∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)解：设⊙O的半径为r，则AP＝5－r，OB＝r.在Rt△OBA中，AB2＝OA2－OB2＝52－r2，在Rt△APC中，AC2＝PC2－AP2＝(2)2－(5－r)2.∵AB＝AC，∴52－r2＝(2)2－(5－r)2，解得r＝3，即⊙O的半径为3.22．(1)证明：连接OC.∵AB与⊙O相切于点C，∴OC⊥AB，∴∠ACO＝∠BCO＝90°.∵CD＝CE，∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∴△AOC≌△BOC，∴OA＝OB.(2)解：由(1)得△AOC≌△BOC，∴AC＝BC＝AB＝2.∵OB＝OA＝4，△OCB是直角三角形，∴根据勾股定理，得OC＝＝2，∴OC＝OB，∴∠B＝30°，∴∠BOC＝60°.∴S阴影＝S△BOC－S扇形OCE＝×2×2－＝2－π.23．解：(1)如图，设点E是桥拱所在圆的圆心．11
过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交于点C，连接AE，则CF＝20m．由垂径定理知，F是AB的中点，∴AF＝FB＝AB＝40m.设半径是rm，由勾股定理，得AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(CE－CF)2，即r2＝402＋(r－20)2，解得r＝50.∴桥拱所在圆的半径为50m.(2)这艘轮船能顺利通过．理由：当宽60m的轮船刚好可通过拱桥时，如图，MN为轮船顶部的位置．连接EM，设EC与MN的交点为D，则DE⊥MN，∴DM＝30m，∴DE＝＝＝40(m)．∵EF＝EC－CF＝50－20＝30(m)，∴DF＝DE－EF＝40－30＝10(m)．∵10m>9m，∴这艘轮船能顺利通过．24．(1)证明：如图，连接CD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°.∴∠CAD＋∠ADC＝90°.∵∠PAC＝∠PBA，∠ADC＝∠PBA，∴∠PAC＝∠ADC，∴∠CAD＋∠PAC＝90°，∴PA⊥DA.又∵AD是⊙O的直径，∴PA是⊙O的切线．11
(2)解：由(1)知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，∴∠GCA＝∠PAC.又∵∠PAC＝∠PBA，∴∠GCA＝∠PBA.而∠CAG＝∠BAC，∴△CAG∽△BAC.∴＝，即AC2＝AG·AB.∵AG·AB＝12，∴AC2＝12，∴AC＝2.(3)解：设AF＝x，∵AF：FD＝1：2，∴FD＝2x.∴AD＝AF＋FD＝3x.在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC2＝AF·AD，即3x2＝12，解得x＝2或x＝－2(舍去)．∴AF＝2，AD＝6.∴⊙O的半径为3.在Rt△AFG中，AF＝2，GF＝1，根据勾股定理得AG＝＝＝，由(2)知△CAG∽△BAC，∴∠AGC＝∠ACB，即∠AGF＝∠ACE.在Rt△AGF中，sin∠AGF＝＝＝.∴sin∠ACE＝.11
