第七章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．sin30°的值为( )A．B．C．D．2．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝13，则sinB的值是( )A．B．C．D．3．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为( )A．B．C．D．14．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA＝，BC＝10，则AB的长是( )A．3B．6C．8D．95．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sinE的值为( )A．B．C．D．12
6．如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边上的点F处．已知AB＝4，BC＝5，则cos∠EFC的值为( )A．B．C．D．7．如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则( )A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S28．如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( )A．2mB．2mC．(2－2)mD．(2－2)m二、填空题(每题3分，共30分)9．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝，cosB＝，则∠C＝________．10．比较大小：sin81°________tan47°(填“＜”“＝”或“＞”)．11．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC所在的直线对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝________.12
12．已知锐角∠A的正弦sinA是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sinA＝________．13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足为点E，DE＝6cm，sinA＝，则菱形ABCD的面积是________cm2.14．如图，在高度是21m的小山山顶A处测得建筑物CD顶部C处的仰角为30°，底部D处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD＝____________(结果保留根号)．15．如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D落在CB延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′等于________．16．一次函数的图像经过点(tan45°，tan60°)和(－cos60°，－6tan30°)，则此一次函数的表达式为________．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，AC＝6，CD＝5，则sinA等于________．12
18．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且＝.连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE.若CF＝2，AF＝3.下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tanE＝；④S△DEF＝4.其中正确的是________．三、解答题(19～21题每题8分，22～24题每题10分，25题12分，共66分)19．计算：(1)(2cos45°－sin60°)＋； (2)(－2)0－3tan30°－|－2|. 20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．(1)已知c＝2，b＝，求∠B；12
(2)已知c＝12，sinA＝，求b.21．如图，已知▱ABCD，点E是BC边上的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC＝∠DEC.(1)求证：四边形DECF是平行四边形；(2)若AB＝13，DF＝14，tanA＝，求CF的长．22．如图，大海中某岛C的周围25km范围内有暗礁．一艘海轮向正东方向航行，在A处望见C在其北偏东60°的方向上，前进20km后到达B处，测得C在其北偏东45°的方向上．如果该海轮继续向正东方向航行，有无触礁危险？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)12
23．如图，水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6m，坝高为3.2m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1∶2.5(坡度是坡高与坡的水平长度的比)．求加高后的坝底HD的长为多少．24．如图，AD、BD分别是△ABC的内角∠BAC、∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E.(1)求证：∠E＝∠C；(2)如果AE＝AB，且BD：DE＝2：3，求cos∠ABC的值．12
25．如图①是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，量得托板长AB＝120mm，支撑板长CD＝80mm，底座长DE＝90mm，托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB＝40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．(结果保留小数点后一位)(1)若∠DCB＝80°，∠CDE＝60°，求点A到直线DE的距离；(2)为了观看舒适，在(1)的情况下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度(参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，tan26.6°≈0.5，≈1.732)．答案一、1．C 2．D 3．B4．B 点拨：因为AD＝DC，所以∠DAC＝∠DCA.又因为AD∥BC，所以∠DAC＝∠ACB，所以∠DCA＝∠ACB.在Rt△ACB中，AC＝BC·cos∠ACB＝10×＝8，则AB＝＝6.12
5．A 6．D7．D 点拨：如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥EF，交FE的延长线于点N.在Rt△ABM中，∵sinB＝，∴AM＝3×sin50°，∴S1＝BC·AM＝×7×3×sin50°＝sin50°.在Rt△DEN中，∠DEN＝180°－130°＝50°.∵sin∠DEN＝，∴DN＝7×sin50°，∴S2＝EF·DN＝×3×7×sin50°＝sin50°，∴S1＝S2.故选D.8．B 点拨：在Rt△ABD中，∵∠ABD＝60°，AB＝4m，∴AD＝4sin60°＝2(m)．在Rt△ACD中，∵∠ACD＝45°，∴AC＝AD＝×2＝2(m)． 二、 9．60° 点拨：∵在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，sinA＝，cosB＝，∴∠A＝∠B＝60°.∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－60°－60°＝60°.10．＜ 点拨：∵sin81°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin81°＜tan47°.11． 12．13．60 点拨：在Rt△ADE中，sinA＝＝，DE＝6cm，∴AD＝10cm，∴AB＝AD＝10cm，∴S菱形ABCD＝AB·DE＝10×6＝60(cm2)． 14．(7＋21)m12
15． 点拨：由题意知BD′＝BD＝2.在Rt△ABD′中，tan∠BAD′＝＝＝.16．y＝2x－ 点拨：tan45°＝1，tan60°＝，－cos60°＝－，－6tan30°＝－2.设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据其图像经过点(1，)，，用待定系数法可求出k＝2，b＝－.17． 点拨：∵CD是Rt△ABC斜边上的中线，∴AB＝2CD＝2×5＝10，∴BC＝＝＝8，∴sinA＝＝＝.18．①②④三、 19．解：(1)原式＝×＋＝2－＋＝2.(2)原式＝1－＋－2＝－1.20．解：(1)∵sinB＝＝＝，∴∠B＝45°.(2)∵c＝12，sinA＝＝，∴a＝4，∴b＝＝8.21．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BC.∴∠ADE＝∠DEC.又∵∠AFC＝∠DEC，∴∠AFC＝∠ADE，∴DE∥FC.∴四边形DECF是平行四边形．(2)解：过点D作DH⊥BC于点H，如图．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD＝∠A，AB＝CD＝13.∴由tanA＝＝tan∠DCH＝，易得DH＝12，CH＝5.12
∵DF＝14，∴CE＝14.∴EH＝9.∴DE＝＝15.∴CF＝DE＝15.22．解：该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∴∠BCD＝∠CBM＝∠CBD＝45°.∴CD＝BD.设BD＝xkm，则CD＝xkm.∵∠CAN＝60°，∴∠CAD＝30°.在Rt△CAD中，tan∠CAD＝tan30°＝＝，∴AD＝CD＝x(km)．∵AB＝20km，AB＋BD＝AD，∴20＋x＝x，解得x＝10＋10，∴CD＝10＋10≈27.3(km)＞25km，∴该海轮继续向正东方向航行，无触礁危险．23．解：由题意得BG＝3.2m，MN＝EF＝3.2＋2＝5.2(m)，ME＝NF＝BC＝6m.在Rt△DEF中，＝，∴FD＝2EF＝2×5.2＝10.4(m)．在Rt△HMN中，＝，∴HN＝2.5MN＝2.5×5.2＝13(m)．∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(m)．∴加高后的坝底HD的长为29.4m.12
24．(1)证明：∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠E＝90°－∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC，同理可得，∠ABD＝∠ABC，∵∠ADE＝∠BAD＋∠DBA，∠BAC＋∠ABC＝180°－∠C，∴∠ADE＝(∠ABC＋∠BAC)＝90°－∠C，∴∠E＝90°－(90°－∠C)＝∠C.(2)解：延长AD交BC于点F.∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠E，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠E＝∠CBE，∴AE∥BC，∴∠AFB＝∠EAD＝90°，＝，又∵BDDE＝23，∴＝＝.∴cos∠ABC＝＝.25．解：(1)如图①，过点C作CH⊥DE于点H，作AM⊥DE交DE的反向延长线于点M，CN⊥AM于点N.∵CD＝80，∠CDE＝60°，∴sin60°＝＝＝，∴CH＝40≈40×1.732＝69.28.易知MN＝CH，∠NCD＝∠CDE＝60°.∵∠DCB＝80°，∴∠ACN＝180°－80°－60°＝40°.∵sin∠ACN＝，AC＝AB－CB＝80，∴AN＝80sin40°≈80×0.643＝51.44.∴AM＝AN＋NM≈51.44＋69.28≈120.7.答：点A到直线DE的距离大约为120.7mm.12
(2)∵AB绕着点C逆时针旋转10°，∴∠DCB＝90°.如图②，连接BD.∵DC＝80，CB＝40.∴tan∠CDB＝＝＝0.5.∴∠CDB≈26.6°.如图③，则∠C′DB′≈26.6°，∵∠C′DE＝60°，∴∠B′DE≈60°－26.6°＝33.4°答：CD旋转的角度约为33.4°.12
