考点61空间两点间的距离公式要点阐述在空间直角坐标系中，给定两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则d(P1，P2)＝，特别地，设点A(x，y，z)，则A点到原点O的距离为d(O，A)＝．典型例题【例】已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），则下列说法正确的是（ ）A．A，B，C三点可构成直角三角形B．A，B，C三点可构成锐角三角形C．A，B，C三点可构成钝角三角形D．A，B，C三点不能构成任何三角形【答案】A【解题策略】已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可以利用空间两点间的距离公式求出三边长，从三边的关系上考虑问题．小试牛刀1．空间直角坐标系中，点A（–3，4，0）与点B（x，–1，6）的距离为，则等于（ ）A．2B．–8C．2或–8D．8或–2【答案】C【解析】由，得，．5【思想方法】空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．已知，，则的最小值为（ ）A．B．C．D．【答案】C3．点P（a，b，c）到坐标平面的距离是（ ）A．B．C．D．【答案】C【解析】点P（a，b，c）在平面上的射影为，．4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为( )A．9B．C．5D．2【答案】B【解析】由已知求得C1(0,2,3)，∴|AC1|＝．5．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________．【答案】【解析】点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝＝．6．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M，N两点间的距离．5【规律总结】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立合适的坐标系，确定两点的坐标，确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．考题速递1．点P（x，y，z）满足＝2，则点P在（ ）A．以点（1，1，–1）为球心，以为半径的球面上B．以点（1，1，–1）为中心，以为棱长的正方体内C．以点（1，1，–1）为球心，以2为半径的球面上D．无法确定【答案】C【解析】P满足到定点（1，1，－1）的距离为2．2．与两点A（3，4，5），B（–2，3，0）的距离相等的点M（x，y，z）满足的条件是（ ）5A．B．C．D．【答案】A【解析】由，即化简得，故选A．3．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A，B的距离相等，则点M的坐标是________．【答案】(0，－1,0)【解析】因为点M在y轴上，所以可设点M的坐标为(0，y,0)．由|MA|＝|MB|，得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，整理得6y＋6＝0，解得y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0)．4．在空间直角坐标系中，解答下列各题：（1）在x轴上求一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为；（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N(6,5,1)的距离最短．5．试在坐标平面yOz内的直线2y－z＝1上确定一点P，使P到Q(－1,0,4)的距离最小．5【解析】因为P在yOz平面内，且P在直线2y－z＝1上，所以可设P(0，y,2y－1)，由两点间的距离公式得|PQ|＝＝＝．显然当y＝2时，|PQ|取最小值，这时P点坐标为(0,2,3)．数学文化三维空间三维空间中两点间的距离5
