考点59空间直角坐标系要点阐述1．如图所示，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐标系：以单位正方体为载体，以O为原点，分别以射线OA、OC、OD′的方向为正方向，以线段OA、OC、OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向．2．空间一点M的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．典型例题【例】如图，在正方体OABC－O1A1B1C1中，棱长为2，E是B1B上的点，且|EB|＝2|EB1|，则点E的坐标为( )5A．(2,2,1)B．(2,2，)C．(2,2，)D．(2,2，)【答案】D【解题技巧】对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键．小试牛刀1．轴上的点的坐标的特点是（ ）A．竖坐标是0B．横坐标、纵坐标都是0C．横坐标是0D．横、纵、竖坐标不可能都是0【答案】B【解析】轴上任一点的坐标为（0，0，c）．【规律总结】空间中确定点M坐标的三种方法：（1）过点M作MM1垂直于平面xOy，垂足为M1，求出M1的x坐标和y坐标，再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定z的坐标．（2）构造以OM为体对角线的长方体，由长方体的三个棱长结合点M的位置，可以确定点M的坐标．（3）若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点M在坐标轴或坐标平面上，则利用这一条件，再作轴的垂线即可确定点M的坐标．2．点A（–1，2，1）在轴上的投影点和在平面上的投影点的坐标分别为（ ）A．（–1，0，1），（–1，2，0）B．（–1，0，0），（–1，2，0）C．（–1，0，0），（–1，0，0）D．（–1，2，0），（–1，2，0）【答案】B【解析】点A（–1，2，1）在轴上的投影点的横坐标是–1，纵坐标和竖坐标都为0，故为（–1，0，0）；点A（–1，2，1）在平面上的投影点的横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为（–1，2，0）．53．在空间直角坐标系中，点P（1，，），过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（ ）A．（0，，0）B．（0，，）C．（1，0，）D．（1，，0）【答案】D【解析】Q在过P（1，，）且垂直于面xOy的线上，故Q的横纵坐标与P相等，Q在面xOy上，故Q的竖坐标为0，应选D．【解题技巧】求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影（或者它到这个坐标平面的距离加上正负号），确定第三个坐标．4．设为任意实数，相应的所有点P（x，y，3）的集合是（ ）A．轴上的两个点B．过轴上的（0，0，3）点且与轴垂直的直线C．过轴上的（0，0，3）点且与轴垂直的平面D．以上答案都有可能【答案】C【解析】由于点的竖坐标为定值3，当时，点组成的集合为过（0，0，3）且与轴垂直的平面．5．点P（1，2，–1）在xOz平面内的射影为B（x，y，z），则x＋y＋z的值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】A6．如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．5【解析】过点D作DE⊥BC，垂足为E．在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得|BD|＝1，|CD|＝，∴|DE|＝|CD|sin30°＝，|OE|＝|OB|－|BE|＝|OB|－|BD|cos60°＝1－＝，∴点D的坐标为．考题速递1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内【答案】C【解析】因为该点的y坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz面上．2．设y∈R，则点P(1，y,2)构成的集合为( )A．垂直于xOz平面的一条直线B．平行于xOz平面的一条直线C．垂直于y轴的一个平面D．平行于y轴的一个平面3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )A．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1,0,0)5【答案】B【解析】平面yOz内点的横坐标为0．4．如图，有一个棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，以点D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，DC，DD1的长度为单位长，建立三条数轴：x轴，y轴，z轴，从而建立起一个空间直角坐标系Oxyz．一只小蚂蚁从点D出发，不返回地沿着棱爬行了2个单位长．请用坐标表示小蚂蚁现在爬到了什么位置．数学文化3D电影的原理人的两眼之间大约有6厘米的距离，所以在观看除了正前方的物体外，两只眼睛必然有角度的不同，这个差别在大脑中就能自动形成上下、左右、前后、远近的区别，从而产生立体视觉．所以如果能制作出同一场景、影像的不同侧面（仅有微小的视差）让双眼各看一边，那么在大脑中就能自动形成这一场景的立体影像．而3D电影的拍摄、制作和放映，就是模拟人眼观察景物的过程．它在拍摄时用两个电影摄影机，按人眼两瞳之间的距离（约65mm）拍摄同一景物，从而得到的不同角度的画幅（左、右眼图像），放映时再将图像同时放映到银幕上，这时银幕上会出现重叠交错的两个影像．观众在看3D电影时，只要戴上“立体眼镜”，就可以让左眼看到左图像，右眼看到右图像，此时在大脑中就会自动复现为触手可及立体影像．这就是3D的原理．5
