解直角三角形及其实际应用命题点1 锐角三角函数（仅考查1次）1.（2022重庆A卷6题4分）计算6tan45°-2cos60°的结果是()A.4B.4C.5D.5命题点2 直角三角形的边角关系（高频）1.（2022重庆B卷9题4分）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为()A.2B.2C.+1D.+1第1题图2.(2022重庆20题6分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=.点D为BC边上一点，且BD=2AD，∠ADC=60°.求△ABC的周长.(结果保留根号)第2题图3.（2022重庆A卷20题7分）如图,△ABC中，AD⊥BC,垂足是D，若BC=14，AD＝12，tan∠BAD=,求sinC的值.第3题图【变式改编】（2022重庆20题）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点6\nD为BC边上一点，CD＝1，且cos∠ADC=，BD＝2AD,求tan∠ABC的值.变式改编题图命题点3 解直角三角形的实际应用1.（2022重庆A卷24题10分）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米.（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务.施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据:tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）第1题图6\n【拓展猜押】如图，我国南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上.（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求∠ECD的正弦值.（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）拓展猜押题图【答案】命题点1 锐角三角函数1.D【解析】分别把tan45°的值，cos60°的值代入进行计算即可.6tan45°-2cos60°=6×1-2×=6-1=5.命题点2 直角三角形的边角关系1.D【解析】本题需要利用特殊角的三角函数值来进行计算.tan45°=1，tan30°=，∵CD⊥AB，∴△ADC与△CDB都是直角三角形.又∵∠A=45°，∠B=30°，CD=1，∴AD=＝＝1，BD=＝＝，∴AB=BD+AD=+1.6\n2.解：在Rt△ADC中，∵sin∠ADC=,∴AD===2.（1分）∴BD=2AD=4.（2分）∵tan∠=,∴DC===1.（3分）∴BC=BD+DC=5.（4分）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB==＝2.（5分）∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2+5+.（6分）3.解：∵AD⊥BC,∴tan∠BAD=,(1分)∵tan∠BAD＝,AD=12,∴=,(2分)∴BD=9.(3分)∴CD=BC-BD=14-9=5.(4分)在Rt△ADC中，由勾股定理得AC＝==13,(6分)∴sinC==.（7分）【变式改编】解：在Rt△ABC中，∠C=90°,CD=1,cos∠ADC=,∴AD=CD==3,在Rt△ACD中，AC==2.又∵BD=2AD，∴BD=6，∴BC=BD+CD=7.6\n∴tan∠ABC==.命题点3 解直角三角形的实际应用1.解：（1）在Rt△PME中，tan31°=，∴ME=≈=50（米）.(2分)在Rt△PNE中，tan45°=，∴NE===30（米）,(4分)∴MN=ME-NE＝50-30=20（米），答：两渔船M、N之间的距离约为20米.(5分)（2）如解图，过点D作DG⊥AB于点G，由题意知DG=24（米）.∵AD的坡度i=1∶0.25，∴=，∴AG=0.25×24=6（米）.∵DH的坡度i=1∶1.75，∴=，∴GH=1.75×24=42（米）,∴AH=GH-AG=42-6=36（米）,(6分)∴S△AHD=2=432（平方米）,∴一共要填筑土石方432×100=43200立方米.(7分)设原计划平均每天填筑土石方x立方米，则由题意列方程为：，(9分)两边乘以2，得2(43200-10)-(43200-10)=40，解得x=864.经检验，x=864是原方程的根，且符合题意，∴原计划平均每天填筑土石方864立方米.(10分)第1题解图6\n【拓展猜押】解：（1）如解图，过点C、D分别作CG⊥AB，DF⊥CG，垂足分别为G，F，∵在Rt△CGB中，∠CBG=90°-60°=30°，∴CG=BC=×（30×)=7.5，∵∠DAG=90°，∠DFG=90°，∠FDA=90°,∴四边形ADFG是矩形，∴GF=AD=1.5，∴CF=CG-GF=7.5-1.5=6，在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=，∴CD=≈=10（海里）.答：CD两点的距离是10海里.拓展猜押题解图（2）设渔政船调整方向后t小时能与捕鱼船相会合，由题意知CE=30t，捕鱼船航速为1.5×2＝3，即每小时3海里，DE=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90°，∴sin∠EDH=，∴EH=ED·sin53°≈3t×=t，在Rt△EHC中，sin∠ECD===.答：∠ECD的正弦值为.6
