单元测试(五)范围:四边形 限时:45分钟 满分:100分一、选择题(每小题4分,共24分) 1.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等C.对角线互相平分D.对角线互相垂直2.如图D5-1,EF过▱ABCD对角线的交点O,交AD于E,交BC于F.若▱ABCD的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD的周长为( )图D5-1A.14B.13C.12D.103.如图D5-2,矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=6,将△ABC沿AC折叠,使点B落在点E处,CE交AD于点F,则DF的长等于( )11\n图D5-2A.35B.53C.73D.544.已知菱形的周长为45,两条对角线的和为6,则菱形的面积为( )A.2B.5C.3D.45.如图D5-3,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,如果将该矩形沿对角线BD折叠,那么图中阴影部分的面积为( )图D5-3A.8cm2B.10cm2C.15cm2D.20cm26.如图D5-4,点E为菱形ABCD边上的一个动点,并沿着A→B→C→D的路径移动,设点E经过的路径长为x,△ADE的面积为y,则下列图像能大致反映y与x的函数关系的是( )图D5-4图D5-5 11\n二、填空题(每小题4分,共24分) 7.如图D5-6,在▱ABCD中,DB=DC,AE⊥BD,垂足为E,若∠EAB=46°,则∠C= °. 图D5-68.如图D5-7,在▱ABCD中,E是BA延长线上的一点,AB=AE,连接CE交AD于点F.若CF平分∠BCD,AB=3,则BC的长为 . 图D5-79.已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,△OAB是等边三角形,若AB=3,则▱ABCD的面积为 . 10.如图D5-8所示,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则EG2+FH2= . 图D5-811.如图D5-9,直线a经过正方形ABCD的顶点A,分别过此正方形的顶点B,D作BF⊥a于点F,DE⊥a于点E.若DE=8,BF=5,则EF的长是 . 11\n图D5-912.如图D5-10,点E,F分别是边长为2的正方形ABCD边BC,CD上的动点,且BE=CF,连接DE,AF相交于P点,作PN⊥CD于N点,PM⊥BC于M点,连接MN,则MN长的最小值为 . 图D5-10 三、解答题(共52分) 13.(12分)如图D5-11,四边形ABCD中,AD=BC,BE=DF,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若AC与BD相交于点O,求证:AO=CO.图D5-1111\n14.(12分)求证:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.小红同学根据题意画出了图形,并写出了已知和求证的一部分,请你补全已知和求证,并写出证明过程.已知:如图D5-12,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O, . 求证: . 图D5-1211\n15.(14分)如图D5-13,▱ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E,F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于点O.(1)求证:BO=DO;(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于点G,当FG=1时,求AD的长.图D5-1316.(14分)如图D5-14①,在正方形ABCD中,E,F分别是边AD,DC上的点,且AF⊥BE.(1)求证:AF=BE.(2)如图②,在正方形ABCD中,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA上的点,且MP⊥NQ,则MP与NQ是否相等?并说明理由.11\n图D5-1411\n参考答案1.D2.C3.B [解析]设DF=x,则CF=AF=6-x,由勾股定理得x2+42=(6-x)2,解得x=53.4.D [解析]∵菱形的四条边相等,周长为45,∴菱形的边长为5.设菱形的两条对角线的长分别为x,y,则x+y=6①,(x2) 2+(y2) 2=5,即x2+y2=20②.①2-②,得2xy=16.∴xy=8.∴S菱形=12xy=4.故选D.5.B6.D7.688.6 [解析]∵在▱ABCD中,AB∥CD,∴∠E=∠ECD.∵CF平分∠BCD,∴∠BCE=∠ECD,∴∠E=∠BCE,∴BC=BE=2AB=6.9.9310.36 [解析]如图,连接EF,FG,GH,EH,设EG,FH交于点O.根据三角形中位线定理得到EH,FG等于BD的一半,EF,GH等于AC的一半,由AC=BD=6,得到EH=EF=GH=FG=3,故四边形EFGH为菱形,然后根据菱形的性质得到EG⊥HF,由勾股定理得到OE2+OH2=EH2=9,即可求出EG2+FH2的值.11.13 [解析]在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°.又∵DE⊥a,BF⊥a,∴∠AFB=∠DEA=90°,∠EDA+∠DAE=90°,∴∠FAB=∠EDA,11\n∴△AFB≌△DEA,∴AF=DE,BF=AE,∴EF=AF+AE=DE+BF=8+5=13.12.5-113.[解析](1)根据已知条件得到BF=DE,由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°,根据全等三角形的判定定理即可得到结论;(2)连接AC交BD于点O,根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF,由平行线的判定得到AD∥BC,从而得到四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的性质即可得到结论.证明:(1)∵BE=DF,∴BE-EF=DF-EF,即BF=DE.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AED=∠CFB=90°,在Rt△ADE与Rt△CBF中,∴Rt△ADE≌Rt△CBF.(2)连接AC交BD于点O,∵Rt△ADE≌Rt△CBF,∴∠ADE=∠CBF,∴AD∥BC,又AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO.14.解:已知:如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD.11\n求证:平行四边形ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵AC⊥BD,∴AD=CD.又∵四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是菱形.15.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠CDB=∠ABD.在△BOE与△DOF中,∴△BOE≌△DOF,∴BO=DO.(2)∵AB∥CD,∴∠GDF=∠A,∠GFD=∠GEA.∵EF⊥AB,∴∠GFD=∠GEA=90°.∵∠A=45°,∴∠GDF=45°,∴DF=FG.∵FG=1,∴DF=1,DG=2.∵∠GDF=45°,∴∠G=45°.∵∠BDG=90°,∴DO=BO=DG=2,∴BD=22.∵∠A=45°,∠ADB=90°,11\n∴AD=BD=22.16.解:(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAE=∠D=90°,∴∠DAF+∠BAF=90°.∵AF⊥BE,∴∠ABE+∠BAF=90°,∴∠ABE=∠DAF.在△ABE和△DAF中,∴△ABE≌△DAF(ASA),∴AF=BE.(2)MP与NQ相等.理由:如图,过点A作AF∥MP交CD于点F,过点B作BE∥NQ交AD于点E,则与(1)的情况完全相同,故BE=AF,即NQ=MP.11
