知识点6：二次根式一、选择题1.（2022·湖北省黄冈市一模，11，3）16的平方根为（）A．2B．±2C．4D．±4【答案】D2.（2022·湖北省荆州市一模，1，3）在实数，0，，，sin300，，tan150中，有理数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个【答案】D3.（2022·浙江省宁波市一模，2，3）下列运算正确的是（）(A)(B)(C)(D)【答案】A4.（2022·河北省三河市一模，2，2）在这四个数中负整数是（）A．-2B．0C．D．1【答案】A5.（2022·山东省泰安市一模，4，3）4的平方根是（）A．B．2C．±2D．【答案】C6.（2022·山东省泰安市一模，13，3）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC⊥BC，∠B＝60º，BC＝2cm，则梯形ABCD的面积为（）ACBDA．cm2B．6cm2C．cm2D．12cm2【答案】A7.（2022·山东省泰安市一模，15，3）如图所示，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点M、N分别为OB、OC的中点，则cos∠OMN的值为（）\nA．B．C．D．1BDMNCAO【答案】B8.（2022·重庆市綦江县一模，7，4）如图，在数轴上表示实数的点可能是()A．PB．QC．MD．N0134PQMN2【答案】C9.（2022·重庆市一模，10，4）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC＝900，BC＝CD，E为梯形内一点，∠BEC＝900，将△BEC绕C点旋转900，使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M．给出以下5个命题：①DM:MC=MF:ME；②BE⊥DF；③若sin,则；④若tan,则点D到直线CE的距离为1；⑤若M为EF中点，则点B、E、D三点在同一直线上．则正确命题的个数()A.2B.3C.4D.5（第10题图）【答案】D10．（2022·浙江省××市一模，4，3）使代数式有意义的自变量的取值范围是（）\nA.B.C.D.【答案】C11.（2022·浙江省舟山市一模，1，3）在-3，0，-2，四个数中，最小的数是()A．－3B.0 C.－2D.【答案】A12.（2022·浙江省舟山市一模，2，3）在实数范围内有意义，则x的取值范围是()A．x≥3B.x>3C.x≤3D.x<3【答案】C13.（2022·浙江省舟山市一模，10，3）已知：直线（为正整数）与两坐标轴围成的三角形面积为，则（）A．B.C.D.【答案】B14.（2022·江苏省徐州市一模，4，2）2的平方根是（）A．4B．C．D．【答案】D15.（2022·重庆市潼南县一模，9，4）如图，在△ABC中,已知∠C=90°,BC=3,AC=4,⊙O是△ABC的内切圆，E、F、D分别为切点，则tan∠OBD=()A．B．C．D．【答案】C16.（2022·××省××市X模，2，3）下列计算正确的是（ ）\nA、=B、C、D、【答案】B17.（2022·江苏省江阴市一模，1，3）16的算术平方根是（）A．4B．C．D．【答案】A18.（2022·江苏省江阴市一模，3，3）使有意义的x的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C19.（2022·江苏省江阴市一模，10，3）如图所示，已知：点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于（）A．B．C． D．（第10题）【答案】C20．（2022·湖南省长沙市一模，1，3）的平方根是()A．B．2C．±2D．【答案】C21．（2022·湖北省孝感市一模，2，3）化简的结果为 A．B．C．D．【答案】A22．（2022·湖北省孝感市一模，4，3）要使二次根式有意义，那么x的取值范围是A．x＞－1B．x＜1C．x≥1D．x≤1\n【答案】C23．（2022·湖北省孝感市一模，6，3）已知x．y是实数，＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是A．4B．－4C．D．－【答案】B24．（2022·广州省佛山市一模，1，3）计算（原创）A.–4B.–2C.0D.4【答案】D25．（2022·广州省佛山市一模，2，3）25的平方根是（原创）A.-5B.5C.D.625【答案】C26．（2022·广州省佛山市一模，8，3）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是正方形,点A的坐标是(4,0),点P为边AB上一点,∠CPB=,沿CP折叠正方形,折叠后,点B落在平面内处,则的坐标为A.B.C.D.第8题【答案】C27．（2022·广东省中山市一模，10，4）如图所示，正方形的面积为12，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为（）A．B．C．3D．【答案】A28．（2022·××省××市一模，2，3）2．若，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．【答案】B29．（2022·江西省××市三模，1，3）的相反数的是（）A．B．—3C．D．—【答案】D\n30．（2022·江西省××市六模，6，3）计算—（—）—的结果是（）A．3B．3C．+3D．【答案】A31．（2022·上海市徐汇区一模，1，4）下列运算正确的是（ ）A．；B．（为实数）；C．；D．．【答案】C32．（2022·上海市徐汇区一模，6，4）如图，将边长为3的等边沿着平移，则的长为（ ）A．；B．；C．；D．.第6题【答案】C33．（2022·上海市长宁区二模，2，4）若，化简=()A．B．C．D．【答案】B34．（2022·上海市杨浦区一模，3，4）下列关于x的方程一定有实数解的是（）A．B．C．D．【答案】D35．（2022·上海市松江区一模，2，4）下列各式中，最简二次根式是A．B．C．D．【答案】D36．（2022·上海市浦东新区一模，2，4）下列根式中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．\n【答案】D37．（2022·上海市静安区一模，1，3）下列各数中与相等的是（）A．B． C． D．【答案】C38．（2022·上海市奉贤区一模，2，4）下列运算不正确的是（）A．； B．；C．； D．．【答案】D39．（2022·上海市宝山、嘉定两区一模，1，4）下列根式中，与为同类二次根式的是（）A．；B．；C．；D．.【答案】A40．（2022·江苏省昆山市一模，2，3）下列判断中，你认为正确的是（）A．0的倒数是0B．是分数C．大于1D．的值是±2【答案】C41．（2022·浙江省宁波市一模，1，3）的平方根是（）A．4B．2C．±4D．±2【答案】D42．（2022·福建省漳州市一模，2，3）下列计算正确的是（ ）．A．=B．C．D．【答案】B二、填空题1.（2022·湖北省黄冈市一模，2，3）=___________；【答案】12.（2022·湖北省黄冈市一模，8，3）当x=________时，有意义；【答案】x且；(1,2)；3.（2022·湖北省荆州市一模，13，4）如图，河岸AD、BC互相平行，桥AB垂直于两岸，从C处看桥的两端A、B，夹角∠BCA＝60,测得BC＝7m，则桥长AB＝m（结果精确到1m=1.414\n=1.732）13题【答案】7=12，4.（2022·浙江省宁波市一模，13，3）1的平方根是．【答案】±15.（2022·浙江省宁波市一模，17，3）如图，这是一个铅皮做成的无盖半圆锥状容器，它是由半个圆锥侧面和一个等腰三角形围成的．若不考虑容器厚度、接缝以及余料等因素，则根据图中给出的尺寸，制造这样一个容器需要铅皮cm2．(第17题)【答案】(240+130π)6.（2022·浙江省宁波市一模，18，3）如图，点B是函数图象上一点，点A是线段OB上一点，以AB为半径作⊙A恰好与x轴、y轴分别切于点C和点D，则点A的坐标是．(第18题)\n【答案】(，)7.（2022·河北省三河市一模，11，3）实数4的算术平方根是_________．【答案】28.（2022·河北省石家庄市一模，13，3）比较大小：3【答案】＜9.（2022·山东省泰安市一模，21，3）在1，－2，，0，π五个数中最小的数是 ．【答案】－210．（2022·山东省泰安市一模，24，3）为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°．则路况显示牌BC的高度为 米．【答案】(－3)11.（2022·浙江省××市一模，12，4）对正实数定义运算法则，若，则的值是____________.【答案】12.（2022·浙江省××市一模，16，4）边长为1的正方形OABC的顶点A在X轴的正半轴上，如图将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°得正方形OABC，使点B恰好落在函数y=ax2（a<0）的图像上，则a的值为___________.\n【答案】13.（2022·浙江省舟山市一模，13，4）如图，是一个简单的数值运算程序.则输入x的值为。输入x(x－1)2×(－3)输出－9【答案】或14.（2022·浙江省舟山市一模，14，4）圆锥的底面半径为1，侧面积为4π，则圆锥的高线长为。【答案】15.（2022·江苏省徐州市一模，11，2）计算的结果是．【答案】16.（2022·河北省××市一模，13，3）如图8，在数轴上点A和点B之间表示整数的点有个． 图8AB【答案】417.（2022·河北省××市一模，16，3）16．如图9是置于水平地面上的一个球形储油罐，小敏想测量它的半径．在阳光下，他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(即AB=10米)；同一时刻，他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米，则球的半径是_ 米．图9AB【答案】2\n18.（2022·广东省深圳市一模，11，3）11.若有意义，则x的取值范围是.【答案】x≥119.（2022·广东省深圳市一模，16，3）16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，AC=4，分别以AB的长为半径作⊙A和⊙C，则图中阴影部分的面积为.ABC【答案】20．（2022·××省××市X模，10，3）在函数中，自变量的取值范围是________【答案】；21．（2022·浙江省宁波市一模，18，3）图中所示为一个高为cm，底面半径为2cm的圆锥形无底纸帽，现利用这个纸帽的侧面纸张裁剪出一个的圆形纸片（不考虑纸帽接缝），这个圆形纸片的半径最长可以是cm．（计算结果保留四个有效数字）.第18题图2cm【答案】3.31422．（2022·江苏省江阴市一模，15，3）如图，AB是⊙O的直径，CD是圆上的两点（不与A、B重合），已知BC＝2，tan∠ADC＝，则AB＝__________．\n【答案】23．（2022·江西省宜春市一模，9，3）计算：=．【答案】24．（2022·广东省江门市一模，9，4）当时，二次根式在实数范围内有意义．【答案】≤225．（2022·湖北省黄冈市一模，1，3）4的平方根是__________．【答案】±226．（2022·湖北省黄冈市一模，2，3）计算：＝ ．【答案】127．（2022·湖北省黄冈市一模，6，3）化简二次根式＝________．【答案】28．（2022·湖北省黄冈市一模，9，3）在半径为5的⊙O中，有两平行弦AB．CD，且AB＝6，CD＝8，则弦AC的长为__________．【答案】或或29．（2022·湖北省孝感市一模，15，3）若，则 ；若，则 。【答案】≥0≤030．（2022·湖北省孝感市一模，16，3）若实数a．b满足，则a+b的值为 ．【答案】131．（2022·福建省晋江市一模，8，4）4的算术平方根是.【答案】２\n32．（2022·江苏省苏州市一模，11，3）16的算术平方根是_______．【答案】４32．（2022·江苏省苏州市一模，17，3）已知扇形的圆心角为60°，面积为300πcm2，若用该扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为_______cm．【答案】533．（2022·广州省佛山市一模，13，4）如图,△ABC中∠C=,AC=3,BC=6,D为BC中点,E是线段AB上一动点,当BE=时△BDE∽△ABC.（原创）第13题【答案】34．（2022·广东省中山市一模，16，5）已知是直角三角形的三条边，且，斜边上的高为，则下列说法中正确的是。（只填序号）①；②；③由可以构成三角形；④直角三角形的面积的最大值是。【答案】②③35．（2022·河南省郑州市一模，7，3）的平方根为．【答案】36．（2022·河南省郑州市一模，9，3）已知非负整数x满足：，则x＝．【答案】0和137．（2022·河南省郑州市一模，14，3）如图，，切⊙O于，两点，若，⊙O的半径为，则阴影部分的面积为．\nAPBO【答案】38．（2022·河南省××市一模，7，3）7．的平方根是_________．【答案】±239．（2022·安徽省安庆市一模，12，5）计算：sin300+(一3+)0一(一1)2022【答案】40．（2022·安徽省安庆市一模，13，5）如图，量角器边缘上有P、Q两点，它们表示的读数分别为600，300，已知么AB=4,连接PB交OQ于M，则QM的长为_____________________.第13题图【答案】41．（2022·××省××市一模，17，3）如图，，半径为1cm的切于点，若将在上向右滚动，则当滚动到与也相切时，圆心移动的水平距离是__________cm．第17题图【答案】42．（2022·江西省××市一模，9，3）通过估算写出大于但小于的整数:【答案】2\n43．（2022·江西省××市一模，10，3）10.函数中，自变量的取值范围是．【答案】x≥0且x≠144．（2022·江西省××市二模，9，3）用计算器计算：．（结果保留三个有效字）【答案】2.449-0.618=1.831≈1.8345．（2022·江西省××市三模，12，3）已知α是锐角，且sin(α+15°)=，则－4cosα—(－1)0+tanα=．【答案】046．（2022·江西省××市四模，13，3）如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于．(结果保留根号及)．【答案】47．（2022·上海市徐汇区一模，8，4）函数中，自变量的取值范围是 ．【答案】x≥248．（2022·上海市长宁区二模，17，7）长度为2的线段AB被点P分成AP和BP两段，已知较长的线段BP是AB与AP的比例中项，则较短的一条线段AP的长为.【答案】49．（2022·上海市闸北区一模，10，4）方程的解是 ．【答案】x＝250．（2022·上海市闸北区一模，11，4）已知函数，则 ．【答案】\n51．（2022·上海市杨浦区一模，9，4）若最简二次根式与是同类二次根式，则x=.【答案】152．（2022·上海市松江区一模，9，4）方程的解是______．【答案】53．（2022·上海市普陀区一模，9，4）方程的根是.【答案】54．（2022·上海市普陀区一模，11，4）已知函数，那么＝.【答案】55．（2022·上海市浦东新区一模，7，4）的平方根等于．【答案】56．（2022·上海市浦东新区一模，8，4）函数的定义域是．【答案】＞57．（2022·上海市浦东新区一模，10，4）如果关于x的方程的一个根为3，那么a=．【答案】358．（2022·上海市闵行区一模，10，4）方程的解是.【答案】x=359．（2022·上海市闵行区一模，11，4）已知函数，那么.【答案】60．（2022·上海市卢湾区一模，7，4）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．【答案】x≥3\n61．（2022·上海市卢湾区一模，9，4）方程的解是 ．【答案】62．（2022·上海市静安区一模，7，4）计算：= ．【答案】63．（2022·上海市静安区一模，12，4）如果,那么 ．【答案】245．（2022·上海市黄浦区一模，9，4）函数的定义域是_______________.【答案】64．（2022·上海市黄浦区一模，11，4）方程的解是_______________.【答案】65．（2022·上海市奉贤区一模，9，4）方程的根是【答案】67．（2022·上海市青浦区一模，11，4）函数的定义域是．【答案】x≥168．（2022·上海市青浦区一模，18，4）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且，则CE的长是．ACD第18题图BFE【答案】\n69．（2022·上海市宝山、嘉定两区一模，10，4）方程的解为：．【答案】70．（2022·上海市宝山、嘉定两区一模，11，4）已知，且，则．【答案】71．（2022·浙江省宁波市一模，13，3）使有意义的x的取值范围是．【答案】x≥272．（2022·山东省济南市一模，16，4）化简．的平方根为．【答案】4；±273．（2022·福建省漳州市一模，13，4）已知2<x<5,化简=____________。【答案】3三、解答题1.（2022·湖北省荆州市一模，17，6）计算：||．【答案】12.（2022·湖北省荆州市一模，18，7）18．（7分）先化简：，其中。【答案】3.（2022·浙江省宁波市一模，20，6）设是正整数，则、按整数部分的大小可以这样分组：整数部分为1：，，；，，……，．整数部分为2：，，……，；，，……，．整数部分为3：，，……，；，，……，．…………(1)若的整数部分4，则的最小值、最大值分别是多少？(2)若的整数部分5，则可能的值有几种？【答案】(1)的最小值64，的最大值124．\n(2)∵的最小值25，的最大值35，∴可能的值有11种．4.（2022·重庆市綦江县一模，17，6）计算：【答案】25.（2022·重庆市綦江县一模，20，6）先化简，再求值：÷，其中＋1．【答案】原式==2+14，当＋1，原式=186.（2022·重庆市一模，17，6）计算：【答案】原式＝1-1-3-2+＝-5+7.（2022·浙江省××市一模，17，6）计算：+()-【答案】解：原式=1+-=2-8.（2022·浙江省××市一模，19，6）某海滨浴场的海岸线可以看作直线l（如图），有两位救生员在岸边的点A同时接到了海中的点B（该点视为定点）的呼救信号后，立即从不同的路径前往救助。其中1号救生员从点A先跑300米到离点B最近的点D，再跳入海中沿直线游到点B救助；2号救生员先从点A跑到点C，再跳入海中沿直线游到点B救助。如果两位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，且∠BAD=450，∠BCD=600，请问1号救生员与2号救生员谁先到达点B？【答案】解：∵AD=300米且∠BAD=45°∴BD=300米又∵∠BCD=60°∴CD=米，BC=米则1号救生员所用时间：\n秒2号救生员所用时间：秒∵∴2号救生员先到B点9.（2022·浙江省××市一模，23，10）阅读以下的材料：如果两个正数，即，有下面的不等式：当且仅当时取到等号我们把叫做正数的算术平均数，把叫做正数的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具。下面举一例子：例：已知，求函数的最小值。解：令，则有，得，当且仅当时，即时，函数有最小值，最小值为。根据上面回答下列问题已知，则当时，函数取到最小值，最小值为；用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆周长是多少；③．已知，则自变量取何值时，函数取到最大值，最大值为多少？【答案】①已知，则当时，函数取到最小值，最小值为；\n②设这个矩形的长为x米，则宽为 米，所用的篱笆总长为y米，根据题意得：y＝2x+由上述性质知：x>0，2x≥40此时，2x＝x＝10答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米；③令＝＝x－2x>0，＝x≥6当x＝3时，y最大＝10．（2022·江苏省徐州市一模，19，6）；【答案】原式===．11.（2022·重庆市潼南县一模，17，6）计算：（－1）2022－|－7|＋cos600×（－π）0＋（）－1【答案】解：原式=－1－7＋×1＋5=12.（2022·广东省深圳市一模，18，6）化简求值：,其中．【答案】解：原式====当x=时,原式=\n13.（2022·××省××市X模，18，12）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式===．将代入上式得原式=．14.（2022·浙江省宁波市一模，19，3）计算：【答案】15.（2022·江苏省江阴市一模，19，4）计算：【答案】16.（2022·广东省江门市一模，11，6）计算：．【答案】原式……3分，……5分，17.（2022·广东省江门市一模，12，6）先化简，再求值：，其中．【答案】原式当时，原式（或）18.（2022·湖南省长沙市一模，17，6）化简：【答案】解：原式=3一一(1+)+1+︱1一︱=3一一1一+1+一l=一l19.（2022·湖南省长沙市一模，18，6）先化简，再求值：，其中x=2\n【答案】解：原式==∴当x=2时，原式=一．20．（2022·湖北省孝感市一模，19，6）计算：【答案】2(2＋ )－2 21．（2022·福建省晋江市一模，18，9）计算：.【答案】原式===22．（2022·福建省晋江市一模，附加题，10）在答题卡上相应题目的答题区域内作答．友情提示：请同学们做完上面考题后，再认真检查一遍，估计一下你的得分情况．如果你全卷得分低于90分（及格线），则本题的得分将计入全卷总分，但计入后全卷总分最多不超过90分；如果你全卷总分已经达到或超过90分，则本题的得分不计入全卷总分．填空：1.（5分）计算：.2.（5分）如图，在中，中位线，则.【答案】1． 2．23．（2022·江苏省苏州市一模，19，5）计算：．【答案】7－624．（2022·广州省佛山市一模，17，3）计算【答案】解:原式===\n25．（2022·甘肃省酒泉市一模，16，8）有一道题“先化简，再求值：，其中。”小玲做题时把“”错抄成了“”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？【答案】，因为或，的值均为3，原式的计算结果都是7，所以把“”错抄成“”，计算结果也是正确的。26．（2022·甘肃省酒泉市一模，21，10）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q，设BP的长为xcm，CQ的长为ycm。（1）求点P在BC上运动的过程中y的最大值；（2）当cm时，求x的值。【答案】（1）∵PQ⊥AP，∴∠CPQ＋∠APB＝90°，又∵∠BAP＋∠APB＝90°，∴∠CPQ＝∠BAP，∴tan∠CPQ＝tan∠BAP，因此点在BC上运动时始终有，∵，，，∴∴（）∵，∴y有最大值，当，（cm）。（2）由（1）知，当cm时，，整理，得，∵，∴，∵，∴当cm时，x的值是或。27．（2022·广东省中山市一模，17，8）计算：.\n【答案】28．（2022·广东省中山市一模，18，8）先化简，再求值：÷，其中.【答案】÷=当x=时，原式=29．（2022·河南省××市一模，16，8）先化简，再求值：，其中．【答案】解：，原式30．（2022·福建省福州市一模，16，7）先化简，再求值：(x＋y)2－(x－y)2，其中，．【答案】解：当，时，原式=431．（2022·安徽省安庆市一模，15，8）先化简再求值【答案】解：==当=时，32．（2022·××省××市X模，19，4）计算： 【答案】33．（2022·江西省××市一模，17，6）先化简，再求值：\n，其中【答案】解：原式==2x+4当时，原式=234．（2022·江西省××市五模，18，7）先化简，再求值：【答案】解：原式当时，原式35．（2022·上海市徐汇区一模，19，10）【答案】解：原式=36．（2022·上海市长宁区二模，19，10）19、(本题10分)计算:【答案】解：原式===137．（2022·上海市闸北区一模，19，10）计算：－．【答案】解：原式＝＝38．（2022·上海市杨浦区一模，19，10）先化简，再求值：，其中【答案】解：===\n当时，原式==39．（2022·上海市松江区一模，19，10）先化简，再求值：，．【答案】解:原式===当时，原式=40．（2022·上海市浦东新区一模，20，10）先化简，再求值：，其中．【答案】解：原式．当时，原式．41．（2022·上海市闵行区一模，19，10）先化简，再求值：，其中.【答案】解：原式．当时，原式．42．（2022·上海市卢湾区一模，19，10）化简：．【答案】解：原式．\n43．（2022·上海市静安区一模，19，10）化简：，并求当时的值．解：原式==当时，原式=．【答案】44．（2022·上海市黄浦区一模，，）计算：.【答案】解：原式====.45．（2022·上海市宝山、嘉定两区一模，19，10）计算：．【答案】解：原式====46．（2022·江苏省昆山市一模，21，6）先化简，再求值：，其中m＝－【答案】47．（2022·福建省漳州市一模，18，8））先化简，再求值：÷，其中。【答案】
