课时训练(二十四) 锐角三角函数(限时:20分钟)|夯实基础|1.在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB=5,BC=2,则sinB的值为( )A.55B.255C.12D.22.如图K24-1,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cosA的值为( )图K24-1A.33B.55C.233D.2553.如图K24-2,点A(t,3)在第一象限,OA与x轴所夹的锐角为α,tanα=32,则t的值是( )图K24-2A.1B.1.5C.2D.34.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC=( )A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°5.如图K24-3,在矩形ABCD中,AB=8,BC=12,点E是BC的中点,连接AE.将△ABE沿AE折叠,使点B落在点F处,连接FC,则sin∠ECF=( )5\n图K24-3A.34B.43C.35D.6.如图K24-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB,垂足为D,则tan∠BCD的值是 . 图K24-4图K24-57.[2022·房山检测]如图K24-5,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C都在小正方形的顶点上,则∠ABC的正弦值为 . 8.[2022·顺义期末]在△ABC中,∠A=45°,AB=6,BC=2,则AC的长为 . 图K24-69.如图K24-6,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.若AB=4,BD=10,sin∠BDC=35,则▱ABCD的面积是 . 10.如图K24-7,根据图中数据完成填空,再按要求答题:图K24-7sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;sin2A3+sin2B3= . (1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= ; (2)如图K24-8,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.5\n图K24-8|拓展提升|11.[2022·西城期末]如图K24-9,线段BC长为13,以C为顶点,CB为一边的∠α满足cosα=513.锐角三角形ABC的顶点A落在∠α的另一边l上,且满足sinA=45.求△ABC的高BD及AB边的长,并结合你的计算过程画出高BD及AB边.(图中提供的单位长度供补全图形使用)图K24-95\n参考答案1.A2.D [解析]如图,设小正方形的边长为1,AC与网格的一个交点为D,连接BD,由题意,得∠BDC=45°+45°=90°,∴∠BDA=90°,∵AD=22+22=22,AB=12+32=10,∴cosA=ADAB=2210=255.故选D.3.C [解析]∵点A(t,3)在第一象限,∴AB=3,OB=t.又∵tanα=ABOB=32,∴t=2.4.D [解析]∵∠B=90°-∠A=90°-40°=50°,tanB=ACBC,∴AC=BC·tanB=3tan50°.5.D [解析]∵点E是BC的中点,BC=12,∴BE=6.∵矩形ABCD,∴∠B=90°,∵AB=8,∴AE=10.由翻折的性质,得∠AEB=∠AEF,BE=EF=CE.∴∠ECF=∠EFC.∵∠BEF=∠ECF+∠EFC,∴∠AEB=∠ECF,∴sin∠ECF=sin∠AEB=ABAE=45.故选D.6.34 7.228.3+1或3-19.24 [解析]如图,作CE⊥BD于E,在Rt△CDE中,∵sin∠BDC=35=CECD=CEAB,AB=4,∴CE=125,S▱ABCD=2×12×BD×CE=24.5\n10.解:1 1 1(1)1(2)证明:∵sinA=ac,sinB=bc,a2+b2=c2,∴sin2A+sin2B=a2c2+b2c2=a2+b2c2=1.11.解:如图,作BD⊥l于点D.在Rt△CBD中,∠CDB=90°,BC=13,cosC=cosα=513,∴CD=BC·cosC=13×513=5,∴BD=BC2-CD2=132-52=12.在Rt△ABD中,∠ADB=90°,BD=12,sinA=45,∴AB=BDsinA=1245=15,AD=BDtanA=1243=9.作图:以点D为圆心,9为半径作弧与射线l交于点A,连接AB.5
