2022-2022年江苏镇江中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022江苏镇江3分）如图，顺次连结四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH.要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是【】A．AB∥DC B.AC=BDC.AC⊥BDD.AB=DC【答案】C。【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据三角形中位线定理，知四边形EFGH是平行四边形，根据矩形的判定，要使平行四边形EFGH为矩形即要有一角为直角或对角线相等。要有一角为直角，由三角形中位线定理，只要结四边形ABCD的对角线互相垂直，即AC⊥BD即可。故选C。2.（2022江苏镇江3分）给出下列命题：（1）平行四边形的对角线互相平分。（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形。（3）菱形的对角线互相垂直。（4）对角线互相垂直的四边形是菱形。其中，真命题的个数为【】A、4. B、3. C、2. D、1 。【答案】B。【考点】平行四边形的判定和性质，菱形的的判定和性质。【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的的判定和性质逐一计算作出判断：A.平行四边形的对角线互相平分，命题正确；B.对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确；C.菱形的对角互相垂直，命题正确；D.对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，命题错误。正确的命题有3个。故选B。3.（2022江苏镇江3分）如图，将矩形ABCD分成11\n15个大小相等的正方形，E、F、G、H分别在AD、AB、BC、CD边上，且是某个小正方形的顶点，若四边形EFGH的面积为1，则矩形ABCD的面积为【】A、2B、C、D、【答案】D。【考点】矩形和正方形的性质【分析】设小正方形的边长a，那么矩形的面积=（S△AEF＋S△BFG）×2+S四边形EFGH，即：，解得（a＞0）。∴矩形的面积=3a×5a=。故选D。二、填空题1.（2022江苏镇江2分）如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，CB⊥AB，△ABD是等边三角形，若AB＝2，则CD＝▲，BC＝▲【答案】1；。【考点】等边三角形和直角梯形的性质，含30度角直角三角形的性质。【分析】∵△ABD是等边三角形，AB＝2，∴BD=AB=2，∠ABD=600。∵CB⊥AB，∴∠CBD=300。∴CD=1；BC=。2.（2022江苏镇江2分）已知，如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=10，∠ACB=300，则∠AOB=▲度，CD=▲。11\n【答案】60；5。【考点】矩形的性质，直角三角形两锐角的关系，含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OB，CD=AB。∵∠ACB=30°，∴∠BAO=60°，AB=AC=5。∴△AOB是等边三角形．∴∠AOB=60°，CD=AB=5。3.（2022江苏镇江2分）在四边形ABCD中，已知AB∥CD，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件▲（写一个即可），使得四边形ABCD为菱形。【答案】AB=CD；AB=AD（答案不唯一）。【考点】开放型，平行四边形和菱形的判定。【分析】根据平行四边形的判定，可补充AB=CD，使得四边形ABCD为平行四边形；根据菱形的判定，可补充AB=AD，使得四边形ABCD为菱形。（答案不唯一）6.4.（2022江苏镇江2分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别为AB，CD中点，连接EF，若∠B=50°，AD=3，BC=9，则∠AEF=▲_度，EF=▲.【答案】50；6。【考点】梯形中位线定理，平行的性质。【分析】∵AD∥BC，EF为梯形的中线，∴AD∥EF∥BC。又∵∠B=50°，∴∠AEF=∠B=50°。又∵AD=3，BC=9，∴根据梯形中位线等于上下底和的一半，得EF=（AD+BC）=6。5.（2022江苏镇江2分）如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AB=2，∠AOB=60°，则对角线AC的长为▲．11\n【答案】4。【考点】矩形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】∵四边形是矩形，∴OA=OB=AC。又∵∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形。又∵AB=2，∴AB=OA=2。∴AC=2OA=2×2=4。7.（2022江苏省3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，11\n∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。8.（2022江苏镇江2分）如图，在平行四边形ABCD中，CD＝10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且，则＝▲，BF＝▲.【答案】，6。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB。∴△AFE∽△CDE。∵，∴（相似三角形的面积比等于相似比的平方）。由△AFE∽△CDE得，∵CD＝10，∴AF＝4。∴BF＝6。9.（2022江苏镇江2分）如图，E是平行四边形ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，且AD=4，，则CF的长为▲。【答案】2。【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质的。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，BC=AD=4。∴△CEF∽△ABF。∴。又∵，BF=BC+CF=4+CF，∴，解得CF=2。11\n三、解答题1.（2022江苏镇江5分）已知，如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF，（1）求证：△BCE≌△DCF（2）若∠FDC=300，求∠BEF的度数【答案】解：（1）证明：∵ABCD是正方形，∴DC=BC，∠DCB=∠FCE。∵CE=CF，∴△DCF≌△BCE（SAS）.（2）∵△BCE≌△DCF，∴∠DFC=∠BEC=60°。∵CE=CF，∴∠CFE=45°。∴∠EFD=15°。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】（1）根据正方形的性质及全等三角形的判定方法即可证明△BCE≌△DCF。（2）由两个三角形全等的性质得出∠CFD的度数，再用等腰三角形的性质求∠EFD的度数。9.2.（2022江苏镇江6分）已知：如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，EF过点O分别交AD、BC于点E、F.求证：OE=OF.【答案】证明：∵ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，OA=OC。∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO。∴△AEO≌△CFO（AAS）。∴OE=OF。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】要证明线段相等，只需证明两条线段所在的两个三角形全等即可。3.（2022江苏镇江8分）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，直线CE交DA的延长线于点F．（1）求证：△BCE≌△AFE；11\n（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的长．【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF=∠B，∠BCE=∠F。又∵E是AB的中点，∴AE=BE。∴△BCE≌△AFE（AAS）。（2）∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°。∵由（1）△BCE≌△AFE，BC=4，∴AF=BC=4。又∵E是AB的中点，AB=6，∴AE=BE=3。∴。【考点】平行的性质，全等三角形的判定，勾股定理。【分析】（1）直接根据AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F（AAS）可判定△BCE≌△AFE。（2）根据（1）中的证明△BCE≌△AFE得到AF=BC=4，利用勾股定理可求出EF=5。4.（2022江苏镇江8分）已知：如图，四边形ABCD中，∠C=90°，∠ABD=∠CBD，AB=CB，P是BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：PA=EF；（2）若BD=10，P是BD的中点，sin∠BAP=，求四边形PECF的面积．【答案】解：（1）连接PC、EF。∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，11\n∴△ABD≌△CBD（SAS）。∴∠BAD=∠BCD=90°，AD=CD，∠ADB=∠CDB。又∵DP=DP，∴△ADP≌△CDP（SAS）。∴PA=PC。又∵PE⊥BC，PF⊥CD，∴四边形PECF是矩形。∴PC=EF。∴PA=EF。（2）在Rt△BAD中，∵P为BD中点，BD=10，∴AP=BD=5。∴PC=EF=5。∵sin∠BAP=，∴sin∠PCE=。∴EP=5×＝3。∴FP=4。∴EP•FP=3×4=12，即四边形PECF的面积为12。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理。【分析】（1）连接PC、EF，根据条件AB=CB，∠ABD=∠CBD，BD=BD，判定△ABD≌△CBD得到AD=CD，∠ADB=∠CDB，从而判定△ADP≌△CDP所以PA=PC=EF。（2）利用sin∠BAP=sin∠PCE=和勾股定理求出EP和FP的长，即可求出EP•FP=3×4=12，即四边形PECF的面积为12。5.（2022江苏镇江5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，AO=CO，求证：四边形ABCD是平行四边形。【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO。∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO（ASA）。∴AB=CD。11\n∴四边形ABCD是平行四边形。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证。6.（2022江苏镇江6分）已知，如图，在中，E、F分别是AD、BC的中点．求证：⑴△ABE≌△CDF．⑵BE=DF．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，AB=CD，AD=BC。又∵E、F分别是AD、BC的中点，∴AE=CF。∴△ABE≌△CDF（SAS）。（2）由△ABE≌△CDF，得BE=DF。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）要证明△ABE≌△CDF，根据平行四边形的性质，易证AB=CD，∠A=∠C，AE=CF，利用SAS可证得两三角形全等。（2）由（1）的结论可以直接得到。7.（2022江苏省10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．【答案】解：（1）AD=BC。理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。∵AD=BE,AD=FC，11\n又四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。∴AD=BE=EF=FC。∴AD=BC。（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。∵AB=DC，∴DE=AF。又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明DE=AF即可得出结论。8.（2022江苏镇江7分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。求证：四边形BCDE是菱形9.（2022江苏镇江6分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF=∠ADF。（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由。11\n【答案】解：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADE=∠BFE（两直线平行，内错角相等）。∵E是AB的中点，∴AE=BE。又∵∠AED=∠BEF，∴△ADE≌△BFE（AAS）。（2）EG与DF的位置关系是EG⊥DF。理由如下：∵∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF，∴∠GDF=∠BFE（等量代换）。∴GD=GF（等角对等边）。又∵△ADE≌△BFE，∴DE=EF（全等三角形对应边相等）。∴EG⊥DF（等腰三角形三线合一）。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由已知，应用AAS即可证明△ADE≌△BFE。（2）由∠ADE=∠BFE，∠GDF=∠ADF可得∠GDF=∠BFE，从而根据等角对等边得GD=GF；由（1）△ADE≌△BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG⊥DF。11
