2022-2022年江苏无锡中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022江苏无锡3分）下列命题中，正确的是【】A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2.（2022江苏无锡3分）如图，E是平行四边形ABCD的边BC延长线上的一点，连接AE交CD于F，则图中共有相似三角形【】A．1对B．2对C．3对D．4对【答案】C。【考点】平行四边形的的性质，相似三角形的判定。【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到图中的相似三角形的对数．∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC∥AB。∴△ADF∽△EBA∽△ECF。∴有三对。故选C。3.（江苏省无锡市2022年3分）如图，E，F，G，H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE=BF=CG=DH=AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为【】15\nＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．【答案】A。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】先根据正方形的对称性得到阴影部分是正方形，设正方形的边长为3a，利用勾股定理求出CH、DM、HM的长，即可得到MN的长，也就是阴影部分的边长，面积也就求出了，再求比值即可：设CH与DE、BG分别相交于点M、N，正方形的边长为3a，DH=CG=a，由正方形的中心对称性知，阴影部分为正方形，且△ADE≌△DCH。从而可得DM⊥CH。在Rt△CDH中，由勾股定理得CH=，由面积公式得，得DM=。在Rt△DMH中由勾股定理得MH=，则MN=CH－MH－CN=－－。∴阴影部分的面积：正方形ABCD的面积=。故选A。4.(江苏省无锡市2022年3分)菱形具有而矩形不一定具有的性质是【】A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【答案】A。【考点】菱形和矩形的性质。【分析】区分菱形和矩形的性质，直接得出结果：15\nA．对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质，选项正确；B．对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误；C．对角线互相平分是矩形和菱形都具有的性质，选项错误；D．对角互补是矩形具有而菱形不一定具有的性质，选项错误。故选A。5.（2022江苏无锡3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED的周长等于【】 A．17B．18C．19D．20【答案】A。【考点】梯形和线段垂直平分线的性质。【分析】由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，即可得DE=CE，即可由已知AD=3，AB=5，BC=9求得四边形ABED的周长为：AB+BC+AD=5+9+3=17。故选A。二、填空题1.（江苏省无锡市2022年3分）若一个等腰梯形的中位线长是6cm，腰长是5cm，则这个梯形的周长是▲cm．【答案】22。【考点】等腰梯形的性质，梯形中位线定理。【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”，求得梯形的两底和，再结合腰长计算其周长：根据梯形的中位线定理，得梯形的上底与下底和为12。所以周长是12+5×2=22（cm）。2.江苏省无锡市2022年3分）给出下列命题：①顺次连接矩形四边中点所得的四边形是矩形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中真命题的序号是▲（请把所有真命题的序号都填上）．【答案】③。【考点】命题与定理，平行四边形、矩形和的正方形判定。【分析】逐个分析各项，利用排除法得出答案：①因为顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形，所以命题错误；15\n②对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，所以命题错误；③一组对边平行，一组对角相等的条件可转化为两组对角相等，它是平行四边形，所以命题正确；④因为一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或梯形，所以命题错误。真命题的序号是③。3.（江苏省无锡市2022年3分）已知梯形的中位线长为6㎝，高为4㎝，则此梯形的面积为▲㎝2.【答案】24。【考点】梯形中位线定理。【分析】根据梯形的中位线定理及梯形的面积公式即可求得其面积：∵梯形的中位线长为（上底+下底）=6cm，∴梯形的面积为（上底+下底）×4=6×4=24cm2。4.（江苏省无锡市2022年3分）如图，ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是▲（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）.【答案】AC⊥EF（答案不唯一）。【考点】平行四边形的性质，菱形的判定。【分析】菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形。因此，根据平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形，由平行四边形的性质知，对角线互相平分，又对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，则添加的一个条件可以是：AC⊥EF。5.（江苏省无锡市2022年2分）若梯形的面积为6㎝2，高为2㎝，则此梯形地中位线长为▲㎝.【答案】3。【考点】梯形中位线定理【分析】根据题意可求得其两底和，从而根据中位线定理不难求得其中位线的长：∵梯形的面积为6㎝2，高为2㎝，∴梯形的中位线=梯形的两底和的一半=面积÷高=3cm。6.（江苏省无锡市2022年2分）如图1是一种带有黑白双色、边长是15\n的正方形装饰瓷砖，用这样的四块瓷砖可以拼成如图2的图案．已知制作图1这样的瓷砖，其黑、白两部分所用材料的成本分别为元／和元／，那么制作这样一块瓷砖所用黑白材料的最低成本是▲元（取，结果精确到元）．图1 图2【答案】。【考点】正方形的性质，扇形面积的计算，二次函数的最值。【分析】由图可知：每块正方形瓷砖的黑色部分都是由两个全等的直角三角形和一个扇形组成，可设扇形的半径为xcm，则直角三角形的短直角边长为（20－x）cm，即可表示出正方形瓷砖黑色部分的面积，从而表示出白色部分的面积，然后算出各种材料费之和，根据函数的最值问题得解即可：设圆的半径为xcm，则三角形的短直角边为（20－x）cm，则小方砖黑部分的面积为，白色部分的面积为：。∴一块小方砖的小成本∴。7.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，15\n∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。8.(江苏省无锡市2022年2分)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，对角线AC交EF于G，若BC=10cm，EF=8cm，则GF的长等于▲cm．【答案】3。【考点】梯形中位线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】梯形、三角形的中位线，一方面可以得到位置关系（梯形中位线平行两底，三角形中位线平行第三边），另一方面可以得到数量关系（梯形中位线等于两底和的一半，三角形中位线等于第三边的一半）。∵EF是梯形的中位线，∴EF(AD+BC)，∴AD=2EF—BC=6cm。∵FG∥AD，∴△CFG∽△CDA。∴。∴GF=3（cm）。三、解答题1.（2022江苏无锡6分）如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，连接BE、CE．求证：△EBC是等腰三角形．【答案】证明：∵ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=CD。∵E是AD中点，∴AE=DE（SAS）。∴△ABE≌△DCE。∴BE=CE。∴△BEC是等腰三角形。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】要证出△BEC是等腰三角形，一般采用证边或证角相等，由此考虑到用三角形全等进行证明。2.（江苏省无锡市2022年8分）已知：如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，E、F分别是AB、CD的中点．15\n（1）在边AD上取一点M，使点A关于BM的对称点C恰好落在EF上．设BM与EF相交于点N，求证：四边形ANGM是菱形；（2）设P是AD上一点，∠PFB=3∠FBC，求线段AP的长．【答案】解：（1）证明：设AG交MN于O，则∵A、G关于BM对称，∴AO=GO，AG⊥MN。∵E、F分别是矩形ABCD中AB、CD的中点，∴AE=BE，AE∥DF且AE=DF。∴AD∥EF∥BC。∴MO：ON=AO：OG=1：1。∴MO=NO。∴AG与MN互相平分且互相垂直。∴四边形ANGM是菱形。
（2）连接AF，∵AD∥EF∥BC，∴∠PAF=∠AFE，∠EFB=∠FBC。又EF⊥AB，AE=BE，∴AF=BF。∴∠AFE=∠EFB。∴∠PAF=∠AFE=∠EFB=∠FBC。∴∠PFB=∠PFA+∠AFE+∠EFB=∠PFA+2∠FBC=3∠FBC。∴∠PFA=∠FBC=∠PAF。∴PA=PF。∴，解得，。【考点】菱形的判定，矩形的性质，对称的性质，线段中垂线的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）设AG交MN于O，由题意易得AO=GO，AG⊥MN，要证四边形ANGM是菱形，还需证明OM=ON，又可证明AD∥EF∥BC．∴MO：ON=AO：OG=1：1，∴MO=NO。（2）连接AF，由题意可证得∠PFA=∠FBC=∠PAF，∴PA=PF，∴，求得。3.（江苏省无锡市2022年9分）已知：如图，四边形ABCD为菱形，AF⊥AD交BD于点E，交BC于点F.⑴求证：AD2＝DE·DB；⑵过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE<DE）的长是方程x2－3mx＋2m2＝0（m>0）的两个根，且菱形ABCD的面积为6，求EG的长.15\n【答案】解：（1）证明：连接AC交BD于点O。∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，BO=OD。∵AE⊥AD，∴△AOD∽△EAD。∴。∴AD2=OD×ED=DE×BD。（2）解方程x2－3mx＋2m2＝0得x1=m，x2=2m。∵BE＜DE，m>0，∴BE=m，DE=2m。∴BD=3m。∵AD2＝DE·DB，∴AD=m。在Rt△ADE中，DE=2m，AD=m，∴AE=m，∠ADB=30°。在Rt△BEF中，∠EBF=30°，BE=m，∴EF=m，∴AF=m。∵，∴m2=4。∴m=±2（负值舍去）。∴m=2。∵EG⊥AF，AD⊥AF，∴GE∥AD。∴，即，∴。4.（江苏省无锡市2022年6分）已知：如图，ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F.求证：BE=DF.15\n【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD。∵AB∥CD，∴∠ABE=∠CDF。又∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°。∴△ABE≌△CDF（AAS）。∴BE=DF。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】要证BE=DF，可由△ABE≌△CDF来证，根据平行四边形的性质和三角形全等的判定定理，很容易确定AAS，从而确定三角形全等。5.（江苏省无锡市2022年6分）已知：如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是边BC和AD上的点，且BE=DF，求证：AE=CF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠B=∠D。又∵BE=DF，∴△ABE≌△CDF（SAS）。∴AE=CF。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定。【分析】在证明全等时常根据已知条件，分析还缺什么条件，然后用（SAS，ASA，SSS）来证明全等。6.（江苏省无锡市2022年10分）如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D），Q是BC边上的任意一点.连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.（1）求证：△APE∽△ADQ；（2）设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？（3）当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明）15\n【答案】解：（1）证明：∵PE∥DQ，∴∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD。∴△APE∽△ADQ。（2）作△ADQ中DQ边点的高AH。∵AH⊥DQ，∴∠AHD=900。∵四边形ABCD是矩形，∴∠DCQ=∠ACD=900。∴∠ADH=900－∠QDC=∠DQC。∴△ADH∽△ADQ。∴。∵DC=AB=2，AD=BC=3，∴，即。∴。∵△APE∽△ADQ，AP=x，∴，即。又∵PF∥AQ，PE∥DQ，∴∠PAE=∠DPF，∠APE=∠D。∴△APE∽△PDF。∴。又∵PD=3－x，∴，即。又∵PF∥AQ，PE∥DQ，∴四边形PEQF是平行四边形。∴。∴。又∵，∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值。（3）作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点。【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形两锐角的关系，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的最值，轴对称的性质，三角形三边关系。【分析】（1）由PE∥DQ即可得∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD，从而△APE∽△ADQ得证。15\n（2）注意到△ADH∽△ADQ、△APE∽△ADQ和△APE∽△PDF，及，由相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，即可得到，∴当，即P是AD的中点时，S△PEF取得最大值。（3）如图，根据三角形两边之和大于第三边的，对BC上任一点Q′，总有A′Q′＋DQ′＞A′D。由轴对称的性质，得A′Q=AQ，A′Q′=AQ′，所以AQ′＋DQ′＞AQ＋QD，即AD＋AQ′＋DQ′＞AD＋AQ＋QD。所以△ADQ′的周长大于△ADQ的周长，即点Q就是使△ADQ周长最小的点。7.（江苏省无锡市2022年7分）已知：如图，ABCD中，∠BCD的平分线交AB于E，交DA的延长线于F。求证：AE＝AF。【答案】证明：在ABCD中，AB//DC，D//BC，∴∠AEF=∠DCE，∠F=∠BCE。∵CE平分∠DCB，∴∠DCE=∠BCE。∴∠F=∠AEF。∴AE=AF。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。【分析】由平行四边形的性质可以推出AB∥DC，AD∥BC，然后利用它们得到角的关系，再由角平分线的性质经过等量代换即可得∠F=∠AEF，从而根据等腰三角形等角对等边的判定证明题目结论。8.（江苏省无锡市2022年7分）如图，已知四边形是菱形，点分别是边，的中点．求证：．15\n【答案】证明：菱形中，，∵分别是的中点，∴。∴。又∵，∴。∴。【考点】菱形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】证明AE=CF，只要证明即可，它易由证得。9.（江苏省无锡市2022年6分）如图，已知是矩形的边上一点，于，试说明：．【答案】解：∵矩形中，，，∴。∵，∴。∴。∴。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定。【分析】结合矩形的性质，根据两角对应相等的两个三角形相似可解。10.（江苏省无锡市2022年7分）如图，四边形中，，平分，交于．（1）求证：四边形是菱形；（2）若点是的中点，试判断的形状，并说明理由．【答案】解：（1）证明：∵，即，又∵，∴四边形是平行四边形。∵平分，∴。又∵，∴。∴。∴。∴四边形是菱形。15\n（2）是直角三角形。理由如下：∵是中点，∴。又∵，∴。∴。∵，∴。∴，即。∴是直角三角形。【考点】菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行的性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定。【分析】（1）由已知，，知四边形是平行四边形，从而根据菱形的判定只要一组邻边相等即可，由平分和即可证得，从而根据等腰三角形等角对等边的判定即可证得。因此得证。（2）要证是直角三角形，只要证，即即可。由是中点和（1）可得，根据等腰三角形等边对等角的性质得。从而由三角形内角和定理即可证得。从而得证。11.（江苏省无锡市2022年8分）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）【答案】解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求。（图案设计不唯一）15\n（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，。由，得，∴，∴，即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求。或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，，∴，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求。要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求。【考点】作图—应用与设计作图。【分析】（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合。（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线是能辐射的最大直径31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处。12.（江苏省2022年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．15\n（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．13.（2022江苏无锡8分）如图，在ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．求证：∠BAE=∠CDF．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC。∴∠B=∠DCF。∵在△ABE和△DCF中，AB=DC，∠B=∠DCF，BE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）。∴∠BAE=∠CDF。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AB∥DC，再根据平行线的性质可得∠B=∠DCF，即可由SAS证明△ABE≌△DCF，再根据全等三角形对应边相等的性质得到结论。15
