2022-2022年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022江苏南通3分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是中位线，AD＝a，EF=b，则BC的长是【】A、（a+b）B、2a-bC、2b-aD、a+b【答案】A。【考点】梯形中位线定理。【分析】由梯形中位线的定理：梯形的中位线等于上下两底和的一半，得出答案：∵EF是中位线，∴EF=（AD+BC）。∵AD＝a，EF=b，∴EF=（a+b）。故选A。2.（江苏省南通市2022年3分）梯形的上底长为a，下底长是上底长的3倍，则该梯形的中位线长为【】A．aB．1.5aC．2aD．4a【答案】C。【考点】梯形中位线定理。【分析】直接利用梯形的中位线定理进行计算：根据梯形中位线定理，得梯形的中位线长为上下底和的一半，即。故选C。3.（江苏省南通市大纲卷2022年2分）已知：如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE的长为【】A、6cmB、4cmC、3cmD、2cm【答案】C。16\n【考点】菱形的性质，相似三角形的判定和性质【分析】利用菱形的四边都相等的性质结合三角形相似求解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=6cm，OC=OA=AC。∵OE∥DC，∴△ABC∽△OEC，则，即。∴OE=3（cm）。故选C。4.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）如图，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为【】A、6cmB、12cmC、4cmD、8cm【答案】D。【考点】平行四边形的性质。【分析】根据平行四边形对边相等的性质可知：∵ABCD的周长是28cm，∴AB+BC=14cm。∵AB+BC+AC=22cm，∴AC=22﹣14=8cm。故选D。5.（江苏省南通市课标卷2022年2分）如图，ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为【】A．6cmB．12cmC．4cmD．8cm【答案】D。【考点】平行四边形的性质。【分析】根据平行四边形对边相等的性质可知：∵ABCD的周长是28cm，∴AB+BC=14cm。∵AB+BC+AC=22cm，∴AC=22﹣14=8cm。故选D。6.（江苏省南通市课标卷2022年3分）如图，已知正方形ABED与正方形BCFE，现从A，B，C，D，E，F六个点中任取三个点，使得这三个点能作为直角三角形的三个顶点，则这样的直角三角形共有【】16\nA．10个B．12个C．14个D．16个【答案】C。【考点】正方形的性质，勾股定理的逆定理。【分析】根据正方形的性质和直角三角形的判定方法进行判定：连接AE得△ABE、△ADE，连接BD得△ABD、△BED，同理连接CE、BF、AF、CD得到△BCE、△CFE、△BCF、△BEF、△ACF、△ADF、△ACD、△CDF、△AEC、△DBF，共可得到14个直角三角形。故选C。7.（江苏省南通市2022年3分）如图，在ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于【】．A、1cmB、2cmC、3cmD、4cm【答案】B。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的性质可以推导出等角，从而得到等腰三角形，推得AB=BE，所以根据AD、AB的值，求出EC的值：∵ABCD，∴AD∥BC。∴∠DAE=∠BEA。∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。∴∠BAE=∠BEA。∴BE=AB=3。∵BC=AD=5，∴EC=BC－BE=5－3=2。故选B。8.（江苏省南通市2022年4分）下列命题正确的是【】A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形【答案】C。【考点】命题与定理，菱形、矩形和等腰梯形的判定。16\n【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案：A、错误，例如等腰梯形；B、错误，例如对角线互相垂的梯形；C、正确；D、错误，例如矩形。故选C。9.（江苏省南通市2022年3分）如图，菱形ABCD中，AB=5，∠BCD= 120°，则对角线AC的长是【】A．20B．15C．10D．5【答案】D。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质。【分析】根据菱形的性质及已知可得△ABC为等边三角形，从而得到AC=AB：∵AB=BC，∠B+∠BCD=180°，∠BCD=120°，∴∠B=60°。∴△ABC为等边三角形。∴AC=AB=5。故选D。10.（2022江苏南通3分）如图，矩形ABCD的对角线AC＝8cm，∠AOD＝120º，则AB的长为【】A．cmB．2cmC．2cmD．4cm【答案】D。【考点】矩形的性质，平角定义，等边三角形的判定和性质。【分析】在矩形ABCD中，AO=BO=AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°。∴△AOB是等边三角形。∴AB=AO=4cm。故选D。二、填空题1.（2022江苏南通2分）正方形共有▲条对称轴。16\n【答案】4。【考点】轴对称图形，正方形的性质。【分析】根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合。根据正方形的性质，正方形是轴对称图形，它的对称轴共有4条：边的垂直平分线2条，正方形的对角线2条。4.（江苏省南通市大纲卷2022年3分）矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=2∠BOC.若AC=18cm,则AD=▲cm.【答案】9。【考点】矩形的性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】利用直角三角形的性质求出BC的长，然后再根据矩形的性质易求出AD的长：∵∠AOB=2∠BOC，∴∠AOB=120°，∠BOC=60°，∠CAB=30°。∵AC=18cm，∴BC=9cm。∴矩形ABCD中AD=BC=9cm。5.（江苏省南通市课标卷2022年3分）已知四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD满足条件▲时，四边形EFGH是菱形．16\n【答案】AC=BD。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：AC=BD。如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线。根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC。∴当AC=BD，有EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形。6.（江苏省2022年3分）如图，已知EF是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。7.（江苏省南通市2022年3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M、N两点关于对角线AC对称，若DM=1，则tan∠ADN=▲．【答案】。16\n【考点】正方形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的定义。【分析】要求tan∠ADN的值，过N作NE⊥AD于E，由于M、N两点关于对角线AC对称，DM=1，即BN＝DM＝1，而AD＝4，所以AE＝1，即DE＝4－1＝3，在Rt△DEN中，AN＝AB＝4，DE＝3，所以tan∠ADN＝。三、解答题1.（2022江苏南通8分）如图，已知O是平行四边形ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点.（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不加辅助线的原图中，全等三角形共有________对（不要求将全等三角形表示出来，也不要求证明）【答案】解：（1）证明：在□ABCD中，∵AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO。又∵OA=OC，∠EOA=∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA）。∴OE=OF。∴四边形AECF为平行四边形。（2）6。16\n【考点】平行四边形的判定和性质，平行的性质.全等三角形的判定。【分析】（1）在题中通过全等可证三角形CFO和三角形AEO全等，从而OE=OF，再者OA=OC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可证。（2）由（1）知△AOE≌△COF，∴OE=OF，∠FOA=∠EOC，OA=OC。∴△AOF≌△COE.∵FC=EA，AF=CE，AC=AC，∴△AFC≌△CEA。∵FC=EA，CE=AF，EF=FE，∴△AFE≌△CEF。∵AD=CB，DC=BA，AC=CA，∴△ADC≌△CBA。∵AD=CB，∠D=∠B，DF=BE，∴△ADF≌△CBE。因此，共6对。2.（江苏省南通市2022年8分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且∠EAD＝∠BAF．（1）求证：△CEF是等腰三角形；（2）△CEF的哪两边之和恰好等于ABCD的周长？证明你的结论．【答案】解：（1）证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠EAD=∠F，∠BAF=∠E。又∠EAD=∠BAF，∴∠E=∠F。∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形。
（2）△CEF中，CE和CF的和恰好等于平行四边形的周长。证明如下：由（1）得∠EAD=∠F=∠BAF=∠E，∴DE=AD，AB=BF。∴CE+CF=CD+AD+CB+AB，即平行四边形的周长之和等于CE与CF的和。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】（1）根据平行四边形的对边平行，得到同位角相等，从而结合已知条件得到∠E=∠F，再根据等角对等边证明三角形是等腰三角形。（2）根据（1）的证明过程，很容易发现此图中有3个等腰三角形．则CE+CF等于平行四边形的周长。3.（江苏省南通市大纲卷2022年9分）如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠ABC=90°,AB=2DC,对角线AC⊥BD,垂足为F,过点F作EF∥AB,交AD于点E,CF=4cm.16\n⑴求证：四边形ABFE是等腰梯形;⑵求AE的长.【答案】解：（1）证明：过点D作DM⊥AB，垂足为点M∵DC∥AB，∠CBA=90°，∴四边形BCDM为矩形。∴DC=MB。∵AB=2DC，∴AM=MB=DC。∵DM⊥AB，∴AD=BD。∴∠DAB=∠DBA。∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，∴四边形ABFE是等腰梯形。
（2）∵DC∥AB，∴△DCF∽△BAF。∴。∵CF=4cm，∴AF=8cm。∵AC⊥BD，∠ABC=90°，∴在△ABF和△BCF中，∵∠ABC=∠BFC=90°，∴∠FAB+∠ABC=90°，∵∠FAB+∠ABF=90°，∴∠FAB=∠BCF。∴△ABF∽△BCF，∴。∴BF2=CF•AF。∴（cm）。∴AE=BF=（cm）。【考点】直角梯形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）过点D作DM⊥AB，根据已知可求得四边形BCDM为矩形，从而得到DC=MB，因为AB=2DC，从而推出△ABD是等腰三角形，从而得到∠DAB=∠DBA，因为EF∥AB，AE不平行FB，所以AEFB为梯形，从而根据同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形得证。（2）由已知可得到△DCF∽△BAF，根据相似三角形的对应边成比例，可得到AF的长，再根据16\n△BCF∽△ACB，得到BF2=CF•AF，从而求得BF的长，由第一问已证得BF=AE，所以就求得了AE的长。4.（江苏省南通市课标卷2022年8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OA、OB的中点．（1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长．【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AD∥BC。∴OA＝OB＝OC，∠DAE＝∠OCB。∴∠OCB＝∠OBC。∴∠DAE＝∠CBF。又∵AE＝OA，BF＝OB，∴AE＝BF。∴△ADE≌△BCF。（2）过点F作FG⊥CD于点G，则∠DGF＝90º，∵∠DCB＝90º，∴∠DGF＝∠DCB。又∵∠FDG＝∠BDC，∴△DFG∽△DBC。∴。由（1）可知DF＝3FB，得，∴，∴FG＝3，DG＝6，∴GC＝DC－DG＝8－6＝2。在Rt△FGC中，cm。【考点】矩形的性质，平行的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）根据矩形的对边相等、对角线相等且相互平分等性质可证△ADE≌△BCF。16\n（2）要求CF的长，若CF在一直角三角形中，则可用勾股定理求解．由此需要添加辅助线，过点F作FG⊥CD于点G，则△DFG∽△DBC。由（1）的结论可得DF=3FB，则可算出FG、DG的值，从而求得CF的长。5.（江苏省南通市大纲卷2022年10分）已知：如图，O是正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC，交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G，连接OG．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）OG与BF有什么数量关系？证明你的结论；（3）若GE•GB=4﹣2，求正方形ABCD的面积．【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°．∵∠DCF=∠BCD=90°，CF=CE，∴△BCE≌△DCF（SAS）。（2）OG=BF。理由如下：∵△BCE≌△DCF，∴∠EBC=∠FDC。∵∠BEC=∠DEG，∴∠DGE=∠BCE=90°，即BG⊥DF．∵BE平分∠DBC，BG=BG，∴△BGF≌△BGD（AAS）。∴DG=GF。∵O为正方形ABCD的中心，∴O为BD的中点。∴OG=BF。（3）设BC=x，则DC=x，BD=x。由（2），得BF=BD=x，∴CF=BF－BC=（－1）x。在Rt△DCF中，DF2=DC2+CF2=x2+(－1)2x2①。∵∠GDE=∠GBC=∠GBD，∠DGE=∠BGD=90°，∴△DGE∽△BGD。∴，即DG2=GE·GB=4－2。∵DF=2DG，∴DF2=4DG2=4(4－2)②。由①，②两式，得x2+(－1)2x2=4(4－2)，解得x2=4。∴正方形ABCD的面积为4个平方单位。16\n【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）根据全等三角形的判定方法寻找条件。（2）因为O是BD的中点，结合已知条件，知道证明G是DF中点即可。（3）要求正方形的面积，求出边长的平方即可，为此要找到一个关于边长的方程，因为已知中有直角，根据勾股定理，结合已知条件，列出方程，求出答案。6.（江苏省南通市2022年10分）在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切）（1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆半径；若不可行，请说明理由．【答案】解：（1）理由如下：∵扇形的弧长＝16×＝8π，圆锥底面周长＝2πr，∴圆的半径为4cm。∵所给正方形纸片的对角线长为cm，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为cm，，∴方案一不可行。（2）方案二可行，求解如下：设圆锥底面圆的半径为rcm，圆锥的母线长为Rcm，则，①．②由①②，可得，。16\n∴所求圆锥的母线长为cm，底面圆的半径为cm。【考点】正方形的性质，勾股定理，圆锥和扇形的计算。【分析】（1）求出所给正方形纸片的对角线长和制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长比较即可。（2）根据和，联立求解即可。7.（江苏省2022年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．【答案】解：（1）AD=BC。理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。∵AD=BE,AD=FC，又四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。∴AD=BE=EF=FC。∴AD=BC。（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。∵AB=DC，∴DE=AF。又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明DE=AF即可得出结论。8.（江苏省南通市2022年12分）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？16\n（3）若，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=900，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°。又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°。∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED。∴，即。∴。（2）∵当m=8时，，∴当x=4时，y的值最大，最大值是2。（3）由和得x的方程:，解得，。∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2。∴m的值应为6或2时，△DEF是等腰三角形。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质。【分析】在几何图形中建立函数关系式，体现了“数形结合”的数学思想，要注意运用“相似法”、“面积法”与“勾股法”建立有关等式，从而转化为函数关系式。因此，（1）通过证明y与x这两条线段所在的两个三角形相似，由比例式建立y关于x的函数关系式。（2）将m的值代入⑴中的函数关系式，配方化成项点式后求最值。（3）逆向思考，当△DEF是等腰三角形，因为DE⊥EF，所以只能是EF=ED，再由⑴可得Rt△BFE≌Rt△CED，从而求出m的值。9.（2022江苏南通10分）如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，点E在边BC上，点F在边CD上．(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；(2)如图2，若∠EAF＝60º，16\n求证：△AEF是等边三角形．【答案】证明：（1）连接AC。∵菱形ABCD中，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°。∴△ABC是等边三角形。∵E是BC的中点，∴AE⊥BC。∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°。∴∠CFE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°。∴∠FEC=∠CFE。∴EC=CF。∴BE=DF。（2）连接AC。∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF。∴△ABC是等边三角形。∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。∴∠AEB=∠AFC。在△ABE和△AFC中，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，AB=AC，∴△ABE≌△ACF（AAS）。∴AE=AF。∵∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理全等三角形的判定和性质。【分析】（1）连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，从而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，从而证得BE=DF。（2）连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形。16\n16
