2022-2022年江苏常州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022江苏常州2分）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【 】 A．矩形 B.菱形 C.梯形 D.正方形【答案】D。【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≡CD，E、F、G、H分别是各边的中点，连接AC、BD。∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，EH=BD。又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE。∴四边形EFGH是菱形。故选D。2.（2022江苏常州2分）下列命题中的真命题是【 】 A．有一组邻边相等的四边形是菱形 B.对角线相等的四边形是矩形C.有一组对边平行的四边形是梯形 D.对角线相等的菱形是正方形【答案】D。【考点】命题与定理，菱形、矩形、梯形、正方形的判定。【分析】根据菱形、矩形、梯形、正方形的判定作出判断：A、假命题，有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；B、假命题，例如等腰梯形，对角线也相等；C、假命题，例如平行四边形的一组对边也平行；D、真命题，符合矩形的判定定理。故选D。3.（江苏省常州市2022年2分）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，则梯形ABCD的面积是【】18用心爱心专心\nA、B、C、D、【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，勾股定理。【分析】知道等腰梯形的上底、下底，只要求出高，就可得梯形的面积：过D，C分别作高DE，CF，垂足分别为E，F，∵等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=8，AB=10，CD=6，∴DC=EF=6，AE=BF=2。∴DE=，∴梯形ABCD的面积=。故选A。4.（江苏省常州市2022年2分）顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是【】A.等腰梯形B.正方形C.平行四边形D.矩形【答案】D。【考点】菱形的性质，三角形中位线定理，矩形的判定。【分析】先证明四边形EFGH是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断：如图：菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EH=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC。∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EH⊥EF，∠HEF=90°。∴四边形EFGH是矩形。故选D。二、填空题1.（江苏省常州市2022年1分）四边形的对角线互相垂直，顺次连结它的各边中点所得的四边形是▲.【答案】矩形。【考点】矩形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形解答：18用心爱心专心\n∵顺次连接四边的各边中点所得的四边形是平行四边形，当四边形的对角线互相垂直时，平行四边形的邻边也互相垂直，∴该四边形是是矩形。2.（江苏省常州市2022年1分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，G、F、E、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，梯形ABCD的边满足条件▲时，四边形EFGH是菱形。【答案】AC=BD。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，可得顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得四边形是菱形，故可添加：AC=BD。如图，AC=BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∴当AC=BD，有EH=FG=FG=EF，则四边形EFGH是菱形。3.（江苏省常州市2022年2分）如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上的一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF=15，BE=10，则四边形DECF的面积是▲。【答案】150。【考点】矩形的判定和性质，平行的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵DF⊥AC，DE⊥BC，∴∠DFC=∠C=∠DEC=90°，∴四边形DFCE是矩形。∴DF∥BC，则∠ADF=∠B。又∵∠AFD=∠DEB，∴△ADF∽△DBE。∴，即DE•DF=AF•BE=150。∴四边形DFCE的面积=DE•DF=150。4.（江苏省常州市2022年2分）如图，正方形ABCD的周长为16cm，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，则四边形EFGH的周长等于▲cm，四边形EFGH的面积等于▲cm2.18用心爱心专心\n【答案】；8。【考点】正方形的性质，三角形中位线定理。【分析】根据已知可求得ABCD的边长及对角线的长，根据中位线的性质可得到EFGH的边长，从而可求得其周长及面积：正方形ABCD的周长为16cm，则它的边长为4，对角线是，顺次连接正方形ABCD各边的中点，得到四边形EFGH，所以利用中线性质可得四边形EFGH的边长为。∴四边形EFGH的周长等于。由正方形的定义可知四边形EFGH是正方形，所以面积等于8。5.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。三、解答题1.（江苏省常州市2022年8分）已知：在菱形ABCD中，∠BAD=60018用心爱心专心\n，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（）（1）画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。（2）写出A，B两点的坐标。（3）设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。（第37题不必写出计算过程）【答案】解：（1）本题有两种情况。画图，如图所示：图1图2（2）图1时：A（0，2），B（）；图2时：A（0，14），B（）（3）图1时：F（0，8）；图2时：F（0，4）。【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。【分析】（1）本题可分两种情况，如图。（2）情况一，如图1，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，∴，。∴OA=OF－AF=8－（4＋2）=2。∴A点坐标为（0，2）。又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（）。情况二，如图2，，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，18用心爱心专心\n∴，。∴OA=OF＋AF=8＋（4＋2）=14。∴A点坐标为（0，14）。又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标（）。（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，∴在Rt△FAC中，FC=AC=PC。而∠DCF=∠DCP=30°，CE=CE，∴△CFE≌△CPE（SAS）。∴CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。由（2）即可得到两种情况下的点F为（0，8）和（0，4）。2.（江苏省常州市2022年6分）如图，在平行四边形ABCD中，EF∥BC，GH∥AB，EF、GH的交点P在BD上图中有对四边形面积相等；他们是。【答案】解：3；S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH。【考点】平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质即可推出3对四边形的面积相等。∵在平行四边形ABCD中，BD是对角线，∴S△ABD=S△DBC，S△BEP=S△BHP，S△GPD=S△DPF。让最大的三角形面积减去其他两个小三角形面积可得：，都加上S▱EBHP可得S▱ABHG=S▱EBCF，再都加上S▱GPFD可得：S▱AEFD=S▱CDGH。S四边形ABPG=S△ABD－S△GPD=S△BCD－S△PFD=S四边形CBPF；S四边形ADPE=S△ABD-S△EPB=S△CBD-S△HPB=S四边形CDPH。18用心爱心专心\n∴图中有3对四边形面积相等，即：S▱AEPG=S▱PHCF、S▱ABHG=S▱EBCF、S▱AEFD=S▱CDGH。3.（江苏省常州市2022年7分）已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件：①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC。（1）从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有（用序号表示）：如①与⑤、。（2）对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明。4.（江苏省常州市2022年5分）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，DE∥BC，EF∥AB，且F是BC的中点．求证：DE=CF18用心爱心专心\n【答案】证明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形。∴DE=BF。∵F是BC的中点，∴BF=CF。∴DE=CF。【考点】平行四边形的判定和性质。【分析】利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可得四边形BDEF是平行四边形；再根据平行四边形的对边相等可得DE=BF，由中点的定义可得BF=CF；由等量代换可得DE=CF。5.（江苏省常州市2022年5分）已知：如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交与点O，AB∥CD，AO=CO，求证：四边形ABCD是平行四边形。【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAO=∠DCO。∵AO=CO，∠AOB=∠COD，∴△ABO≌△CDO（ASA）。∴AB=CD。∴四边形ABCD是平行四边形。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB=CD，继而需求证△ABO≌△CDO，由已知条件很快确定ASA，即证。6.（江苏省常州市2022年6分）在平面直角坐标系中描出下列各点A（2，1），B（0，1），C（），D（6，），并将各点用线段一次连接构成一个四边形ABCD。（1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？答：（2）在四边形ABCD内找一点P，使得△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形，请写出P点的坐标。18用心爱心专心\n【答案】解：画图如下：（1）等腰梯形。（2）P点的坐标为，（），（），，。【考点】坐标与图形性质，等腰梯形的判定，线段中垂线的性质，勾股定理。【分析】（1）由A（2，1），B（0，1），C（），D（6，）得AB∥DC，BC不平行于AD,∴四边形ABCD是梯形。又由勾股定理可得，，∴BC=AD。∴四边形ABCD是等腰梯形。（2）①如图，作AB和BC的中垂线，二者交点P即为所求。由线段中垂线的性质和等腰梯形的对称性，得PA=PB=PC=PD，∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得，。18用心爱心专心\n∴，解得。∴P的坐标为（1，－4）。②如图，以点B为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P，点P即为所求，此时有两点。由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性，得PA=PB=BC=AD，PC=PD，∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得，。∴，解得。∴P的坐标为（）或（）。③如图，以点C为圆心BC长为半径交AB的中垂线于点P，点P即为所求，此时有两点。由线段中垂线的性质、圆的性质和等腰梯形的对称性，得PC=PD=BC=AD，PA=PB，∴△APB、△BPC、△CPD、△APD都是等腰三角形。此时，由点P在AB的中垂线上，∴点P的横坐标为1。设点P的坐标为（1，y），由勾股定理，得，。∴，解得。∴P的坐标为（）或（）。④当△APB是以AB为腰或△CPD是以CD为腰的等腰三角形时，△BPC和△APD都不可能是等腰三角形（可以验证）。综上所述，满足条件的点P的坐标为，（），（），，。18用心爱心专心\n7.（江苏省常州市2022年5分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC边于点E．求证：BE=CD【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD。∴∠DAE=∠BEA。∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。∴∠BAE=∠BEA。∴AB=BE。又∵AB=CD，∴BE=CD。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定。【分析】先根据平行四边形的性质，求出AB=CD，∠DAE=∠BEA，再根据角平分线的性质，确定∠BAE=∠DAE，结合等腰三角形等角对等级边的判定证出BE=CD。8.（江苏省常州市2022年6分）如图，菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等．（1）设菱形相邻两个内角的度数分别为和，将菱形的“接近度”定义为，于是，越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为，则该菱形的“接近度”等于；②当菱形的“接近度”等于时，菱形是正方形．（2）设矩形相邻两条边长分别是和（），将矩形的“接近度”定义为，于是越小，矩形越接近于正方形．你认为这种说法是否合理？若不合理，给出矩形的“接近度”一个合理定义．【答案】解：（1）①40。②0。（2）不合理。例如，对两个相似而不全等的矩形来说，它们接近正方形的程度是相同的，但却不相等。18用心爱心专心\n合理定义方法不唯一，如定义为。越小，矩形越接近于正方形；越大，矩形与正方形的形状差异越大；当时，矩形就变成了正方形。【考点】新定义，菱形、矩形和正方形的判定和性质。【分析】（1）①由菱形的一个内角为700，则另一个内角为1100。“接近度”。②根据正方形的判定，有一个角是直角的菱形是正方形，则由得。（2）不合理。合理定义方法不唯一。9.（江苏省常州市2022年9分）已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．（1）当时，求的面积；（2）设，用含的代数式表示的面积；（3）判断的面积能否等于，并说明理由．【答案】解：（1）∵正方形的边长为6，，∴。又∵，∴，即菱形的边长为。在和中，，，，∴。∴。∵，∴。∴，∴菱形是正方形。同理可以证明。∴，即点在边上，同时可得。∴。18用心爱心专心\n（2）作，为垂足，连结。∵，∴。∵，∴。∴。在和中，，，∴。∴。∴无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2。∴。（3）若，由，得。此时，在中，。相应地，在中，，即点已经不在边上。故不可能有。【考点】正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，反证法的应用。【分析】（1）由已知可用证得和，从而此时菱形是正方形。同理可以证明，从而证得点在边上，同时可得。面积可求。（2）通过的证明，得到无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值2的结论。的面积可求。（3）用反证法，先假设，得出与已知条件矛盾的结论。从而证明。10.（江苏省常州市2022年7分）已知:如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED.求证:AE平分∠BAD.18用心爱心专心\n【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD。∴∠BEF+∠BFE=90°。∵EF⊥ED，∴∠BEF+∠CED=90°。∴∠BFE=∠CED。∴∠BEF=∠CDE。又∵EF=ED，∴△EBF≌△DCE（ASA）。∴BE=CD。∴BE=AB。∴∠BAE=∠BEA=45°。∴∠EAD=45°。∴∠BAE=∠EAD。∴AE平分∠BAD。【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质。【分析】要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求可得证。11.（江苏省2022年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．【答案】解：（1）AD=BC。理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。∵AD=BE,AD=FC，又四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。∴AD=BE=EF=FC。∴AD=BC。（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。∵AB=DC，∴DE=AF。又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】18用心爱心专心\n（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明DE=AF即可得出结论。12.（江苏省常州市2022年7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点。四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。13.（2022江苏常州7分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB的中点。求证：四边形BCDE是菱形【考点】梯形,等腰三角形，直角三角形，平行，菱形。18用心爱心专心\n15.（2022江苏常州7分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF。求证：AE=AF。【答案】证明：连接CE。∵AD∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO，。又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFO（AAS）。∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。又∵EF⊥AC，∴平行四边形AECF是菱形。∴AE=AF。【考点】菱形的判定和性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由已知，根据AAS可证得△AEO≌△CFO，从而得AE=CF。根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定可得四边形AECF是平行四边形。由EF⊥AC，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形的判定得平行四边形AECF是菱形。根据菱形四边相等的性质和AE=AF。16.（2022江苏常州9分）已知，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C、D两点）。连接PM，过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E（如图）。设CP=x，DE=y。（1）写出y与x之间的函数关系式▲；（2）若点E与点A重合，则x的值为▲；（3）是否存在点P，使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上？若存在，求x的值；若不存在，请说明理由。18用心爱心专心\n【答案】解：（1）y=－x2＋4x。（2）或。（3）存在。过点P作PH⊥AB于点H。则∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，∴PD′=PD=4－x，ED′=ED=y=－x2＋4x，EA=AD－ED=x2－4x＋2，∠PD′E=∠D=900。在Rt△D′PH中，PH=2，D′P=DP=4－x，D′H=。∵∠ED′A=1800－900－∠PD′H=900－∠PD′H=∠D′PH，∠PD′E=∠PHD′=900，∴△ED′A∽△D′PH。∴，即，即，两边平方并整理得，2x2－4x＋1=0。解得。∵当时，y=，∴此时，点E已在边DA延长线上，不合题意，舍去（实际上是无理方程的增根）。∵当时，y=，∴此时，点E在边AD上，符合题意。∴当时，点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，折叠对称的性质，解无理方程。【分析】（1）∵CM=1，CP=x，DE=y，DP=4－x，且△MCP∽△PDE，18用心爱心专心\n∴，即。∴y=－x2＋4x。（2）当点E与点A重合时，y=2，即2=－x2＋4x，x2－4x＋2=0。解得。（3）过点P作PH⊥AB于点H，则由点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上，可得△ED′A与△D′PH相似，由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。18用心爱心专心
