2022-2022年江苏南京中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（江苏省南京市2022年2分）用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是【】A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形【答案】D。【考点】等边三角形的性质，菱形的判定。【分析】由于两个等边三角形的边长都相等，则得到的四边形的四条边也相等，即是菱形。故选D。2.（江苏省南京市2022年2分）如图所示，边长为12m的正方形池塘的周围是草地，池塘边A，B，C，D处各有一棵树，且AB=BC=CD=3m，现用长4m的绳子将羊拴在一棵树上，为了使在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在其中的一棵树上，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在【】A、A处B、B处C、C处D、D处【答案】D。【考点】面积大小的比较，矩形和圆的性质。【分析】分别画出图形进行比较即可：绳子拴在A处时，羊在草地上活动区域是圆心角为∠EAF半径为4的扇形加上直角三角形ABE的面积，它小于半径为4的半圆面积；绳子拴在B处时，羊在草地上活动区域是半径为4的圆面积；绳子拴在C处时，羊在草地上活动区域与绳子拴在A处时的面积一样；12\n绳子拴在D处时，羊在草地上活动区域是半径为4的半圆面积。因此，为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在D处。故选D。3.（江苏省南京市2022年2分）如图，将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的【】A．三角形B．平行四边形C．矩形D．正方形【答案】B。【考点】等腰梯形的性质。梯形中位线定理。【分析】根据等腰梯形的性质，采用排除法进行分析：∵把等腰梯形沿中位线剪开后形成了两个等腰梯形，∴不可能拼成三角形，故A错；又∵两个等腰梯形的角不可能为90°，∴不能拼出矩形和正方形C，D错。故选B。二、填空题1.（江苏省南京市2022年2分）如图，矩形ABCD与⊙O交于点A、B、F、E，DE=1cm，EF=3cm，则AB=▲cm．【答案】5。【考点】矩形和圆的性质，垂径定理。【分析】根据矩形和圆的轴对称性，知CF=DE=1，因此由EF=3得DC=5，根据矩形对边相待的性质，可得AB=5。2.（江苏省南京市2022年3分）如图，矩形ABCD与与圆心在AB上的⊙O交于点G、B、F、E，GB=8cm，AG=1cm，DE=2cm，则EF=▲cm.12\n【答案】6。【考点】矩形的判定和性质，垂径定理。【分析】过O作OW⊥CD，垂足为W，根据矩形的对称性及垂径定理即可求出EF的长：作GH⊥CD，交CD于点H，OW⊥CD，交CD于点W，则四边形HCBG，AGHD，OWDA，OWCB都是矩形。∵矩形HCBG是轴对称图形，对称轴是OW，且GB是直径，∴OG=OB=BG=4cm。∴HW与WC是对称线段，有WH=WC。则由垂径定理知，点W是EF的中点，有EW=WF。∴CH=BG=2HW=8cm，OA=WD=OG+AG=5cm。∴EW=DW-DE=5－2=3cm。∴EF=6cm。3.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。12\n4.（江苏省南京市2022年2分）等腰梯形的腰长为5㎝，它的周长是22㎝，则它的中位线长为▲㎝．【答案】6。【考点】等腰梯形的中位线。【分析】由已知，等腰梯形的周长＝上底＋下底＋2×腰长＝上底＋下底＋10＝22，即上底＋下底＝12。从而中位线＝(上底＋下底)÷2＝6。5.（江苏省南京市2022年2分）如图，菱形ABCD的边长是2㎝，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为▲㎝2．【答案】2。【考点】菱形的性质，勾股定理。【分析】∵DE丄AB，E是AB的中点，∴AE＝1cm，根据勾股定理得DE＝。∴菱形的面积＝底边×高＝2。6.（2022江苏南京2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=10cm，CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=▲cm【答案】2.5。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD=10cm，CD=5cm，∴BC=AD=10cm，AD∥BC，∴∠2=∠3。∵BE=BC，CE=CD，∴BE=BC=10cm，CE=CD=5cm，∠1=∠2，∠3=∠D。12\n∴∠1=∠2=∠3=∠D。∴△BCE∽△CDE。∴，即，解得DE=2.5cm。三．解答题1.（2022江苏南京6分）以长为2cm的定线段AB为边，作正方形ABCD，取AB的中点P．在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M落在AD上，如图所示。（1）试求AM、DM的长；（2）点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由。【答案】解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD=。∴AM=AF=PF－AP=PD－AP=，DM=AD－AM=。（2）点M是线段AD的黄金分割点。理由如下：∵，∴AM2=AD•DM。∴点M是线段AD的黄金分割点。【考点】黄金分割点的定义，勾股定理。【分析】（1）要求AM的长，即是求AF的长，只需求得PF的长，根据勾股定理进行计算PD的长就可；要求DM的长，只需AD-AM就可。（2）根据黄金分割点的定义，只需证明AM2=AD•DM。2.（江苏省南京市2022年6分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点求证：（1）ΔABE≌ΔCDF； （2），四边形BFDE是平行四边形。12\n【答案】证明：（1）∵正方形ABCD中，点E、F分别是AD，BC的中点，∴AB=CD，∠A=∠C，AE=CF。∴△ABE≌△CDF（SAS）。
（2）∵正方形ABCD中，点E、F分别是AD，BC的中点，∴DE∥BF，DE=BF。∴四边形BFDE是平行四边形。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定，平行四边形的判定。【分析】（1）运用正方形的性质，寻找三角形全等的条件。（2）由DE=BF，DE∥BF，用“一组对边平行且相等”证明平行四边形。3.（江苏省南京市2022年7分）如图，∠POQ＝90°，边长为2cm的正方形ABCD的顶点B在OP上，C在OQ上，且∠OBC＝30°，分别求点A、D到OP的距离．【答案】解：过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为P、F、G，在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°。在Rt△APB中AP=ABsin60°=。∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO。∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°。∴∠DCG=30°。在Rt△DCG中CG=CD•cos30°=，在Rt△BOC中，OC=BC=1，∴DF=GO=OC+CG=+1cm。答：点A到OP的距离为cm，点D到OP的距离为（+1）cm。【考点】正方形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。12\n【分析】过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，根据已知角的度数和正方形的性质．可以得到两个30度的直角三角形ABE，CDF，然后根据锐角三角函数的知识进行求解。3.（江苏省南京市2022年5分）已知：如图，E、F是平行四边行ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF．4.（江苏省南京市2022年6分）已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．求证：（1）△AFD≌△CEB．（2）四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF。又∵AF=CE，DF=BE，∴△AFD≌△CEB（SAS）。
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，∴AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。12\n【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），即可证明△AFD≌△CEB。（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD∥BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定证之。5.（江苏省南京市2022年6分）已知：如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.求证：(1)△AFD≌CEB；(2)四边形AECF是平行四边形．【答案】证明：（1）在ABCD中，AD=CB，AB=CD，∠D=∠B，∵E、F分别是AB、CD的中点，∴DF=CD，BE=AB。∴DF=BE。∴△AFD≌△CEB（SAS）。
（2）在ABCD中，AB=CD，AB∥CD。由（1），得BE=DF，∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。【考点】平行四边形的判定和性质；全等三角形的判定和性质。【分析】(1)根据平行四边形的性质可得到两边及夹角对应相等，根据SAS判定△AFD≌△CEB。(2)根据有一对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形AECF是平行四边形。6.（江苏省南京市2022年6分）如图，在中，为上两点，且，．求证：（1）；（2）四边形是矩形．【答案】解：（1）∵，，，∴。∵四边形是平行四边形，∴。在和中，∵，，，12\n∴。（2）∵，∴。∵四边形是平行四边形，∴。∴。∴。∴四边形是矩形。【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）根据题中的已知条件我们不难得出：，，又因为，那么两边都加上后，，因此就构成了全等三角形的判定中边边边（SSS）的条件。（2）由于四边形是平行四边形，只要证明其中一角为直角即可。7.（江苏省2022年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．【答案】解：（1）AD=BC。理由如下：∵AD∥BC，AB∥DE，AF∥DC，∴四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形。∵AD=BE,AD=FC，又四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF。∴AD=BE=EF=FC。∴AD=BC。（2）证明：∵四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，∴DE=AB,AF=DC。∵AB=DC，∴DE=AF。又∵四边形AEFD是平行四边形，∴四边形AEFD是矩形。【考点】梯形，平行四边形的判定和性质，矩形的判定。【分析】（1）由题中所给平行线，不难得出四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，而四边形AEFD也是平行四边形，三个平行四边形都共有一条边AD，所以可得出AD=BC的结论。（2）根据矩形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形．只要证明DE=AF即可得出结论。12\n8.（江苏省南京市2022年7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．9.（江苏省南京市2022年7分）如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F．⑴求证：△ABF≌△ECF⑵若∠AFC＝2∠D，连接AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．【答案】证明：⑴∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD。∴∠ABF＝∠ECF。∵EC＝DC，∴AB＝EC。在△ABF和△ECF中，12\n∵∠ABF＝∠ECF，∠AFB＝∠EFC，AB＝EC，∴⊿ABF≌⊿ECF（AAS）。（2）∵AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形。∴AF＝EF，BF＝CF。∵四边形ABCD是平行四边形。∴∠ABC＝∠D。又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC。∵∠AFC＝∠ABF＋∠BAF，∴∠ABF＝∠BAF．∴FA＝FB。∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC。∴ABEC是矩形。【考点】平行四边形的性质,平行线的性质，矩形的判定,全等三角形的判定和性质。【分析】⑴要证△ABF≌△ECF，由已知ABCD和CE＝DC，很易知其有对应边相等AB＝EC，又有一对对顶角相等∠AFB＝∠EFC，只要再找－角即可，根据平行四边形对角相等和平行线的同位角相等可证∠ABF＝∠ECF。（2）要证四边形ABEC是矩形，首先证其是平行四边形，易证AB平行且等于CE，故只要证其对角线相等或有－个角是直角即可，利用∠AFC＝2∠D结合平行四边形的性质都易得到。10.（2022江苏南京8分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，对角线AC、BD交于点O，ACBD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点（1）求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积。【答案】（1）证明：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，EF=AC。同理FG=BD，GH=AC，HE=BD。∵在梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形。设AC与EH交于点M，在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC。又∵AC⊥BD，∴∠BOC=90°。∴∠EHG=∠EMC=90°。12\n∴四边形EFGH是正方形。（2）解：连接EG。在梯形ABCD中，∵E、F分别是AB、DC的中点，∴。在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，∴，即四边形EFGH的面积为。【考点】三角形中位线定理，等腰梯形的性质，正方形的判定，梯形中位线定理，勾股定理。【分析】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD入手，进行正方形的判断。（2）连接EG，利用梯形的中位线定理求出EG的长，然后结合（1）的结论求出，也即得出了正方形EHGF的面积。12
