2022-2022年江苏泰州中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题10：四边形一、选择题1.（2022江苏泰州3分）已知：如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF，分别交AB、BC于点E、F。若AE=4，CF=3，则EF等于【】。A.7B.5C.4D.3【答案】B。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】根据正方形的性质，OB=OC，∠OBE=∠OCF，∵OE⊥OF，∴∠EOB+∠BOF=90°。∵∠BOF+∠COF=90°，∴∠EOB=∠COF。∴△BEO≌△OFC（ASA）。∴BE=CF。∴在Rt△BEF中，AE=4，BE=3，由勾股定理，得EF=5。故选B。2.（江苏省泰州市2022年4分）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形一定是【】A．菱形B．矩形C．梯形D．正方形【答案】A。【考点】等腰梯形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定。【分析】根据等腰梯形的性质及中位线定理和菱形的判定，可推出四边形为菱形：如图，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF=AC。同理，GH=AC，FG=BD，EH=BD又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD。∴EF=FG=GH=HE。∴四边形EFGH是菱形。故选A。3.（江苏省泰州市2022年4分）(03太原)圆内接四边形ABCD中，若∠A:∠B:∠C=1:2:5,则∠D等于【】A.60°B.120°C.140°D.150°【答案】B。10\n【考点】圆内接四边形的性质，多边形内角和定理。【分析】∵四边形ABCD圆内接四边形，∴由圆内接四边形的对角互补得∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：5：4。∴∠D=180°×=120°。故选B。4.（江苏省泰州市2022年4分）四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于的方程的两个实数根，则四边形ABCD是【】A.矩形B.平行四边形C.梯形D.平行四边形或梯形【答案】C。【考点】一元二次方程根的判别式，梯形的判定。【分析】AB、CD长是关于的方程的两个实数根，即判别式，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状：∵=1，=，c=∴。∴方程有两个不相等的实数根。∴AB≠CD∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形。故选C。5.（江苏省泰州市2022年3分）如图，梯形ABCD中，AD//BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO－EO=3，则BC－AD等于【】A．4B．6C．8D．10【答案】B。【考点】梯形中位线定理，平行线等分线段定理，三角形中位线定理。【分析】根据梯形的中位线和平行线等分线段定理，发现三角形的中位线；再根据三角形的中位线定理，得到BC=2OF，AD=2OE，从而求得BC-AD的值：∵EF是梯形ABCD是中位线，∴EF∥BC∥AD。∴OB=OD。∴BC=2OF，AD=2OE。∴BC－AD=2（FO－EO）=2×3=6。故选B。6.（江苏省泰州市2022年3分）如图，已知以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，切点分别是D、C、E.若半圆O的半径为2，梯形的腰AB为5，则该梯形的10\n周长是【】A.9B.10C.12D.14【答案】D。【考点】切线长定理，直角梯形。【分析】由切线长定理可知：AD=AE，BC=BE，因此梯形的周长=2AB＋CD=5×2+4=14。故选D。7.（江苏省泰州市2022年3分）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC。其中一定能判断这个四边形是平行四边形的条件共有【】A．1组B．2组C．3组D．4组【答案】C。【考点】平行四边形的判定。【分析】根据平行四边形的定义和判定定理，①②③是平行四边形的条件,④不一定，它还可能是等腰梯形。故选C。8.（2022江苏泰州3分）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。【考点】真假命题，平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定，轴对称图形和中心对称图形。【分析】根据平行四边形的判定，正方形的判定，菱形的判定和轴对称图形、中心对称图形的概念逐一作出判断：①如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠ABC，连接BD，则∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）。又∵∠ADC=∠ABC，∴∠BDC=∠ABD（等量减等量，差相等）。10\n∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）。∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）。因此命题①正确。②举反例说明，如图，铮形对角线互相垂直且相等。因此命题②错误。③如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接AC，BD。∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=AC，HG=AC，EF=BD，FG=BD（三角形中位线定理）。又∵矩形ABCD，∴AC=BD（矩形的对角线相等）。∴EF=HG=EF=FG（等量代换）。∴四边形EFGH是菱形（四边相等的辊边形是菱形）。因此命题③正确。④根据轴对称图形和中心对称图形的概念，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形。因此命题④错误。综上所述，正确的命题即真命题有①③。故选B。二、填空题1.（2022江苏泰州2分）菱形的周长为20cm，两邻角之比为1：2则较长的对角线长为▲cm。【答案】。【考点】菱形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据菱形的对角线互相垂直且平分各角，可设较小角为x，因为邻角之和为180°，∴x+2x=180°，所以x=60°，画出其图形，根据三角函数，可以得到其中较长的对角线的长：∵菱形的周长为20cm，∴菱形的边长为5cm。∵两邻角之比为1：2，∴较小角为60°。画出图形如图所示，∠ABO=30°，AB=5cm。∵最长边为BD，BO=AB•cos∠ABO=5×，∴BD=2BO=。2.（江苏省泰州市2022年3分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=CD=2，BC=3，则∠B=▲_度．【答案】60。【考点】等腰梯形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。10\n【分析】过A点作AE⊥BC于E，∵等腰梯形ABCD，∴BE=（BC－AD）=1。∴。∴∠B=60°。3.（江苏省2022年3分）如图，已知是梯形ABCD的中位线，△DEF的面积为，则梯形ABCD的面积为▲cm2．【答案】16。【考点】梯形中位线定理【分析】根据已知△DEF的高为梯形高的一半，从而根据三角形的面积可求得中位线与高的乘积，即求得了梯形的面积：设梯形的高为h，∵EF是梯形ABCD的中位线，∴△DEF的高为。∵△DEF的面积为，∴。∴梯形ABCD的面积为。4.（江苏省泰州市2022年3分）如图，平面内4条直线l1、l2、l3、l4是一组平行线，相邻2条平行线的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点A、C分别在直线l1、l4上，该正方形的面积是▲平方单位。【答案】5或9。【考点】平行的性质，勾股定理,正方形面积。【分析】①A点在l1定下后，B点由A点向下平移2个单位到l2后向左平移1个单位得到；C点由B点向下平移1个单位到l4后向右平移2个单位得到；D点由C点向上平移1个单位到l3后向左平移2个单位得到。这时得到的四边形ABCD是边长为个单位长度的正方形，该正方形的边长是10\n，面积是5平方单位。(如下左图）②边长是3的正方形，该正方形的边长面积是9平方单位。(如下右图）5.（2022江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是▲．【答案】2。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】如图，连接BE，交CD于点F。∵四边形BCED是正方形，∴DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BE⊥CD，∴BF=CF。根据题意得：AC∥BD，∴△ACP∽△BDP。∴DP：CP=BD：AC=1：3。∴DP=PF=CF=BF。在Rt△PBF中，。∵∠APD=∠BPF，∴tan∠APD=2。三、解答题1.（江苏省泰州市2022年8分）求证：等腰梯形下底的中点到两腰的距离相等。（要求完成图形，写出已知。求证，并加以证明）已知：求证：证明：10\n【答案】解：已知：如图：四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是CD的中点，过E作EF⊥AB于F，EG⊥CD于G。求证：EF=EG。证明：∵E是BC中点，∴BE=EC。∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B=∠C。∵EF⊥AB，EG⊥CD，∴∠BFE=∠CGE=90°。∴△BFE≌△CGE（AAS）。∴EF=EG。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】由底边中点平分底边所得的两条线段相等，同一底边上两底角相等，以及一组直角，即可得出底边中点到两腰的距离所在的两个小直角三角形全等，即可得出下底中点到两腰的距离相等。2.（江苏省泰州市2022年9分）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．【答案】解：当AB=CD时，四边形EGFH是菱形。证明如下：：∵点E，G分别是AD，BD的中点，∴EGAB。同理HFAB。∴EGHF。∴四边形EGFH是平行四边形。∵EG=AB。同理证得EH=CD。∵若AB=CD，则EG=EH。∴四边形EGFH是菱形。10\n【考点】菱形的判定，三角形中位线定理。【分析】根据菱形的定义来求解：E、G分别是AD，BD的中点，那么EG就是三角形ADB的中位线，同理，HF是三角形ABC的中位线，因此EG、HF同时平行且相等于AB，因此EGHF。因此四边形EHFG是平行四边形。又E、H是AD，AC的中点，那么EH=CD，要想证明EHFG是菱形，只要EG=EH，既要AB、CD满足AB=CD的条件。3.（江苏省2022年10分）如图，在梯形中，两点在边上，且四边形是平行四边形．（1）与有何等量关系？请说明理由；（2）当时，求证：是矩形．4.（江苏省泰州市2022年8分）如图，四边形ABCD是矩形，∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°．(1)求证：AC∥DE；(2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断四边形BCEF的形状，并说明理由．10\n5.（江苏省泰州市2022年10分）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F。（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由。【答案】解:（1）△ABC∽△FOA。理由如下：10\n在矩形ABCD中：∠BAC＋∠BCA＝90°，∵直线l垂直平分线段AC，∴∠OFC＋∠BCA＝90°。∴∠BAC＝∠OFC＝∠OFA。又∵∠ABC＝∠FOC＝90°，∴△ABC∽△FOA。（2）四边形AFCE为菱形。理由如下：∵AE∥FC，∴△AOE∽△COF。则OE：OF＝OA：OC＝1：1，∴OE＝OF。又∵直线l垂直平分线段AC，∴AC与EF互相垂直平分。∴四边形AFCE为菱形。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定。【分析】（1）△ABC和△FOA易证都是直角三角形，只要再证其一组对角相等，而∠BAC和∠OFC=∠OFA都与∠BCA互余，从而得证。（2）要证四边形AFCE为菱形，已知直线l垂直平分线段AC，只要再证其互相平分，由△AOE∽△COF可证OE=OF，从而得证。6.（2022江苏泰州10分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．【答案】证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠CFB=90°。∵AE∥CF，∴∠AED=∠CFB。在Rt△AED和Rt△CFB中，∵∠EAD=∠CFB=90°，∠AED=∠CFB，AE=CF，∴Rt△AED≌Rt△CFB（ASA）。∴AD=BC。又∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形。【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定。【分析】由垂直得到∠EAD=∠BCF=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可。10
