8-4椭圆基础巩固强化1.(2011·东莞模拟)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )A．4 B．5 C．8 D．10[答案] D[解析] ∵a2＝25，∴a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.2．“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵方程mx2＋ny2＝1，即＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，∴需有：∴m>n>0，故互为充要条件．3．(文)已知椭圆短轴上的两个顶点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，若四边形B1F1B2F2是正方形，则这个椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D．以上都不是[答案] A[解析] 画出草图(图略)，根据题意可得e＝＝cos45°＝，故选A.(理)(2012·新课标全国，4)设F1、F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 本题考查了圆锥曲线的离心率的求法．14\n设直线x＝与x轴交于点M，则由条件知，∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，∴∠PF2M＝60°，在Rt△PF2M中，PF2＝F1F2＝2c，F2M＝－c，故cos60°＝＝＝，解得＝，故离心率e＝.[点评] 求离心率时要注意数形结合的应用，在图形中设法寻求a、c所满足的数量关系，从而确定离心率的值．4．(文)(2011·河北石家庄一模)已知椭圆＋＝1的焦点分别是F1、F2，P是椭圆上一点，若连接F1、F2、P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是( )A.B．3C.D.[答案] A[解析] F1(0，－3)，F2(0,3)，∵3<4，∴∠F1F2P＝90°或∠F2F1P＝90°.设P(x,3)，代入椭圆方程得x＝±.即点P到y轴的距离是.(理)(2012·抚顺质检)椭圆＋y2＝1的左、右焦点为F1、F2，点M在椭圆上，·＝0，则M到y轴的距离为( )A.B.C.D.[答案] B[分析] 条件·＝0，说明点M在以线段F1F2为直径的圆上，点M又在椭圆上，通过方程组可求得点M的坐标，即可求出点M到y轴的距离．[解析] 解法1：椭圆的焦点坐标是(±，0)，点M在以线段F1F214\n为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝3，即y2＝3－x2，代入椭圆得＋3－x2＝1，解得x2＝，即|x|＝，此即点M到y轴的距离．解法2：由·＝0知，MF1⊥MF2，∴∴由|MF1|2＝t·|F1F2|得t＝＋，∴M到y轴的距离为t－＝.解法3：设M(x0，y0)，则＋y＝1，∴y＝1－，①∵·＝0，∴MF1⊥MF2，∴|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝12，又F1(－，0)，F2(，0)，∴(x0＋)2＋y＋(x0－)2＋y＝12，将①代入解得x0＝±，∴M到y轴的距离为.[点评] 满足·＝0(其中A、B是平面上两个不同的定点)的动点M的轨迹是以线段AB为直径的圆．5．(文)已知F是椭圆＋＝1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则△ABF的面积最大值为( )A．6B．15C．20D．12[答案] D[解析] S＝|OF|·|y1－y2|≤|OF|·2b＝12.(理)已知点M(，0)，椭圆＋y2＝1与直线y＝k(x＋)交于点A、B，则△ABM14\n的周长为( )A．4B．8C．12D．16[答案] B[解析] 直线y＝k(x＋)过定点N(－，0)，而M、N恰为椭圆＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.6．(文)(2011·安徽省皖北联考)椭圆＋＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为( )A．20B．22C．24D．28[答案] C[解析] 椭圆的焦点坐标是(±5,0)，点P在以线段F1F2为直径的圆上，该圆的方程是x2＋y2＝25，代入椭圆方程得y2＝，即|y|＝，所以S△PF1F2＝×10×＝24，故选C.[点评] 关于焦点三角形的问题常用定义求解．由定义知，|PF1|＋|PF2|＝14 (1)，由△PF1F2为直角三角形及c＝＝5得|PF1|2＋|PF2|2＝100 (2)，(1)式两边平方与(2)式相减得：|PF1|·|PF2|＝48，∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝24.(理)(2011·河北唐山市二模)P为椭圆＋＝1上一点，F1、F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·等于( )A．3B.C．2D．2[答案] D[解析] 由题意可得|F1F2|＝2，|PF1|＋|PF2|＝4，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，所以4＝42－3|PF1||PF2|，|PF1||PF2|＝4，·＝||||·cos60°＝4×＝2，故选D.7．(2011·安徽省“江南十校”高三联考、吉林质检)设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P14\n点到椭圆左焦点距离为________．[答案] 4[解析] |OM|＝3，|PF2|＝6，又|PF1|＋|PF2|＝10，∴|PF1|＝4.8．若方程x2sin2α－y2cosα＝1表示焦点在y轴上的椭圆，那么α的取值范围是________．[答案] ，k∈Z[解析] 根据题意知，化简得，解得α∈(k∈Z)．9．已知椭圆M：＋＝1(a>0，b>0)的面积为πab，M包含于平面区域Ω：内，向Ω内随机投一点Q，点Q落在椭圆M内的概率为，则椭圆M的方程为________．[答案] ＋＝1[解析] 平面区域Ω：是一个矩形区域，如图所示，依题意及几何概型，可得＝，即ab＝2.因为0<a≤2,0<b≤，所以a＝2，b＝.所以，椭圆M的方程为＋＝1.10．(2012·会昌中学月考)椭圆的两焦点坐标分别为F1(－，0)，F2(14\n，0)，且椭圆过点M(1，－)．(1)求椭圆方程；(2)过点N(－，0)作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于P、Q两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠PAQ的大小是否为定值，并说明理由．[解析] (1)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，由题意c＝，且椭圆过点M(1，－)，∴⇒∴椭圆方程为＋y2＝1.(2)设直线PQ：x＝ty－，由消去x得，(t2＋4)y2－ty－＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴y1y2＝－，y1＋y2＝，又A(－2,0)，∴·＝(x1＋2，y1)·(x2＋2，y2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋)(ty2＋)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋t(y1＋y2)＋＝0，∴∠PAQ＝(定值).能力拓展提升11.(2011·浙江文，9)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( )A．a2＝B．a2＝13C．b2＝D．b2＝214\n[答案] C[解析] 由已知双曲线渐近线为y＝±2x.圆方程为x2＋y2＝a2，则|AB|＝2a.不妨取y＝2x与椭圆交于P、Q两点，且P在x轴上方，则由已知|PQ|＝|AB|＝，∴|OP|＝.则点P坐标为(，)，又∵点P在椭圆上，∴＋＝1.①又∵a2－b2＝5，∴b2＝a2－5.②，解①②得故选C.12．(文)设F是椭圆＋＝1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，yi)(i＝1,2,3，…，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，…，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|＝2，|FP2011|＝8，则点P2010的横坐标为( )A.B.C.D.[答案] C14\n[解析] ∵椭圆＋＝1，∴F(－3,0)，由|FP1|＝2＝a－c，|FP2011|＝8＝a＋c，可知点P1为椭圆的左顶点，P2011为椭圆的右顶点，即x1＝－5，x2011＝5＝－5＋2010d，∴d＝，则数列{xi}是以－5为首项，为公差的等差数列，∴x2010＝－5＋2009×＝.(理)(2011·江西七校联考)如图，有公共左顶点和公共左焦点F的椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴的长分别为a1和a2，半焦距分别为c1和c2.则下列结论不正确的是( )A．a1＋c1>a2＋c2B．a1－c1＝a2－c2C．a1c2<a2c1D．a1c2>a2c1[答案] D[解析] 依题意得，a1>a2，c1>c2，a1＋c1>a2＋c2；两个椭圆的左焦点到左顶点的距离相等，即有a1－c1＝a2－c2；由a1>a2，得<，又a1－c1＝a2－c2，因此<，即有<，a1c2<a2c1.因此，不正确的结论是D，选D.13．如果AB是椭圆＋＝1的任意一条与x轴不垂直的弦，O为椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则kAB·kOM的值为________．[答案] e2－1[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点M(x0，y0)，由点差法，＋＝1，＋＝1，作差得＝，∴kAB·kOM＝·＝＝＝e2－1.14．以椭圆的右焦点F2为圆心的圆恰好过椭圆的中心，交椭圆于点M、N，椭圆的左焦点为F1，且直线MF1与此圆相切，则椭圆的离心率e等于________．[答案] －1[解析] 由题意知，MF1⊥MF2，|MF2|＝|OF2|＝c，14\n又|F1F2|＝2c，∴|MF1|＝c，由椭圆的定义，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴c＋c＝2a，∴e＝＝－1.15．(文)设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值．[解析] (1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点坐标满足方程组化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝.解得b＝.14\n(理)(2012·广东文，20)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．[解析] (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1，将点P(0,1)代入椭圆方程＋＝1，得＝1，即b2＝1，所以a2＝b2＋c2＝2，所以椭圆C1的方程为＋y2＝1.(2)直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，由消去y并整理得，(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0因为直线l与椭圆C1相切，所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0整理得2k2－m2＋1＝0，①由消去y并整理得，k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，因为直线l与抛物线C2相切，所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0，整理得km＝1，②综合①②，解得或所以直线l的方程为y＝x＋或y＝－x－.16．(文)已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2,0)，且长轴长与短轴长的比是2.(1)求椭圆C的方程；(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．[解析] (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)由题意解得a2＝16，b2＝12.所以椭圆C的方程为＋＝1.14\n(2)设P(x，y)为椭圆上的动点，由于椭圆方程为＋＝1，故－4≤x≤4.因为＝(x－m，y)，所以||2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12×.＝x2－2mx＋m2＋12＝(x－4m)2＋12－3m2.因为当||最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x＝4时，||2取得最小值．而x∈[－4,4]，故有4m≥4，解得m≥1.又点M在椭圆的长轴上，即－4≤m≤4.故实数m的取值范围是m∈[1,4]．(理)(2011·北京文，19)已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．[解析] (1)由已知得，c＝2，＝，解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m由消去y得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝.14\n因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB，所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2，此时方程①为4x2＋12x＝0，解得x1＝－3，x2＝0，所以y1＝－1，y2＝2，所以|AB|＝3，此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝|AB|·d＝.1．若椭圆＋＝1过抛物线y2＝8x的焦点，且与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，则该椭圆的方程是( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D．x2＋＝1[答案] A[解析] 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，∴a＝2，c＝，∵c2＝a2－b2，∴b2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1.2．椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个顶点，若2＝＋，则该椭圆的离心率为( )A.B.C.D.[答案] B14\n[解析] 由2＝＋知F1是AF2的中点，∴a－c＝2c，∴a＝3c，e＝.3．F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为( )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[答案] A[解析] ∵PQ平分∠F1PA，且PQ⊥AF1，∴Q为AF1的中点，且|PF1|＝|PA|，∴|OQ|＝|AF2|＝(|PA|＋|PF2|)＝a，∴Q点轨迹是以O为圆心，a为半径的圆．4．若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点F分成3:1两段，则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 椭圆中c2＝a2－b2，∴焦距2c＝2，抛物线的焦点F，由题意知|F1F|＝3|FF2|，∴|F1F2|＝4|FF2|，14\n∴c＝2|FF2|，即c＝2，∴c＝b，∴c2＝a2－c2，∴e＝.5．(2011·银川二模)两个正数a、b的等差中项是，等比中项是，且a>b，则椭圆＋＝1的离心率e等于( )A.B.C.D.[答案] C[解析] 由题意可知，又因为a>b，所以解得，所以椭圆的半焦距为c＝，所以椭圆的离心率e＝＝，故选C.6．(2012·沈阳市二模)已知F1、F2分别为椭圆C：＋＝1的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为( )A.＋＝1(y≠0)B.＋y2＝1(y≠0)C.＋3y2＝1(y≠0)D．x2＋＝1(y≠0)[答案] C[解析] 椭圆C：＋＝1中，a2＝4，b2＝3，∴c2＝a2－b2＝1，∴焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，设G(x，y)，P(x1，y1)，则∴∵P在椭圆C上，∴＋＝1，∴＋3y2＝1.当y＝0时，点G在x轴上，三点P、F1、F2构不成三角形，∴y≠0，∴点G的轨迹方程为＋3y2＝1.(y≠0)14
