8-2圆的方程基础巩固强化1.(文)(2011·四川文，3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3)D．(2，－3)[答案] D[解析] 将一般式化为标准式(x－2)2＋(y＋3)2＝13.∴圆心坐标为(2，－3)．(理)(2011·东北育才中学期末)圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，则a－b的取值范围是( )A．(－∞，4)B．(－∞，0)C．(－4，＋∞)D．(4，＋∞)[答案] A[解析] 圆(x－1)2＋(y＋3)2＝10－5a，由条件知，圆心C(1，－3)在直线y＝x＋2b上，∴b＝－2，又10－5a>0，∴a<2，∴a－b<4.2．方程(x2＋y2－4)＝0表示的曲线形状是( )[答案] C[解析] 注意到方程(x2＋y2－4)＝0等价于①或②x＋y＋1＝0.①表示的是不在直线x＋y＋1＝0的左下方且在圆x2＋y2＝4上的部分；②表示的是直线x＋y＋1＝0.因此，结合各选项知，选C.3．(文)(2011·济南调研)已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与直线3x＋4y＋4＝0相切，则圆的方程是( )A．x2＋y2－4x＝0B．x2＋y2＋4x＝014\nC．x2＋y2－2x－3＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0[答案] A[解析] 设圆心为C(m,0)(m>0)，因为所求圆与直线3x＋4y＋4＝0相切，所以＝2，整理得：|3m＋4|＝10，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝22，即x2＋y2－4x＝0，故选A.(理)(2012·大连模拟)将圆x2＋y2＝1沿x轴正方向平移1个单位后得到圆C，若过(3,0)的直线l与圆C相切，则直线l的斜率为( )A.B．±C.D．±[答案] D[解析] 如图，⊙C的方程为(x－1)2＋y2＝1，由条件知，AC＝2，BC＝1，∴∠BAC＝30°，∴直线AB的倾斜角为150°，直线AD的倾斜角为30°，∴切线的斜率为±.4．(文)(2012·日照模拟)圆心在直线y＝x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝2B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2C．(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x＋1)2＋(y＋1)2＝2D．(x－1)2＋(y＋1)2＝或(x＋1)2＋(y－1)2＝2[答案] C[解析] 由圆心在直线y＝x上排除B、D；由对称轴知，若圆(x－1)2＋(y－1)2＝2满足题意，则(x＋1)2＋(y＋1)2＝2也必满足题意，故选C.(理)(2011·青岛市教学质量统一检测)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( )14\nA．2B．1＋C．2＋D．1＋2[答案] B[解析] 圆的方程化为标准形式：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，所求距离的最大值为＋1，故选B.5．(文)(2011·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为( )A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0[答案] D[解析] 圆心C(3,0)，kCP＝－，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以MN所在直线方程是2x－y－1＝0，故选D.(理)(2012·大连模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是( )A．[－，0]B．[－，]C．[－，0]D．(－∞，－]∪[0，＋∞)[答案] C[解析] 由条件知圆心C(3,2)到直线的距离d≤＝1，∴≤1，∴－≤k≤0.6．已知不等式组表示的平面区域恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为( )A．(x－1)2＋(y－2)2＝5B．(x－2)2＋(y－1)2＝8C．(x－4)2＋(y－1)2＝6D．(x－2)2＋(y－1)2＝5[答案] D[解析] 由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)为顶点的三角形及其内部，且△OPQ14\n是直角三角形，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆，故圆心是(2,1)，半径是，所以圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.7．(2011·西安二检)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．[答案] [解析] ∵点A(1,2)在⊙O：x2＋y2＝5上，∴过A的切线方程为x＋2y＝5，令x＝0得，y＝，令y＝0得，x＝5，∴三角形面积为S＝××5＝.8．已知圆x2＋y2＝r2在曲线|x|＋|y|＝4的内部(含边界)，则半径r的取值范围是________．[答案] (0,2][解析] 如图，曲线C：|x|＋|y|＝4为正方形ABCD，∵圆x2＋y2＝r2在曲线C的内部(含边界)∴0<r≤|OM|＝2.9．(2012·北京模拟)与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l的方程是________．[答案] 3x＋4y±24＝0[解析] 设l：3x＋4y＋m＝0，令x＝0得y＝－，令y＝0得x＝－.由条件知，·|－|·|－|＝＝24，∴m＝±24，故直线l方程为3x＋4y±24＝0.10．已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0.14\n(1)证明不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点；(2)当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短？并求这最短弦的长．[解析] (1)证明：由kx－y－4k＋3＝0得(x－4)k－y＋3＝0.∴直线kx－y－4k＋3过定点P(4,3)．由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，∴点P在⊙C内，∴直线和圆总有两个不同的交点．(2)kPC＝＝－1.可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝＝，∴|AB|＝2＝2.[点评] 当点P在⊙C内时，过点P的所有直线l中，当l⊥PC时，l被⊙C截得的弦长最短．证明如下：如图，P在⊙C内，直线AB过P，且AB⊥PC，直线DE是过P与PC不垂直的任意一条弦(不是直径)，过C作CM⊥DE，垂足为M，则PC>CM，∴PC14\n2>CM2，∵CD2＝CA2，∴CD2－CM2>CA2－PC2，∴DM2>AP2，∴DM>AP，∵DE＝2DM，AB＝2AP，∴DE>AB，即过点P的任意与PC不垂直的弦长，总大于过点P与PC垂直的弦长(当DE为⊙C的直径时，DE>AB显然成立).能力拓展提升11.(文)(2011·济南二模)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则有＝2，即|a＋1|＝4，所以a＝3或－5.但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(x－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．(理)若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是( )A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定[答案] C[解析] 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝<1⇒a2＋b2>1.故点P在⊙C外．12．(2012·福州八县联考)已知函数f(x)＝，x∈[1,2]，对于满足1<x1<x2<2的任意x1、x2，给出下列结论：14\n①f(x2)－f(x1)>x2－x1；②x2f(x1)>x1f(x2)；③(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]<0；④(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]>0.其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4[答案] B[解析] 曲线y＝，x∈[1,2]表示圆(x－1)2＋y2＝1，位于直线x＝1右侧x轴上方的四分之一个圆，∵1<x1<x2<2，∴f(x1)>f(x2)．因此，[(f(x2)－f(x1))](x2－x1)<0，④错，③对；显然有kOA>kOB，∴>，∴x2f(x1)>x1f(x2)，故②正确；又kAB＝<0，可能有kAB<－1，也可能kAB>－1，∴①错．13．(2012·石家庄一模)已知动圆的圆心C在抛物线x2＝2py(p>0)上，该圆经过点A(0，p)，且与x轴交于两点M、N，则sin∠MCN的最大值为________．[答案] 1[解析] 当圆心C的纵坐标为p时，C(p，p)为圆心的圆方程为(x－p)2＋(y－p)2＝2p2，令y＝0得，x＝p±p，∴MC⊥NC，∴sin∠MCN＝1.14．设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，则点P的轨迹方程为________．[答案] (x＋3)2＋(y－4)2＝4(x≠－且x≠－)14\n[解析] 如图所示，设P(x，y)，N(x0，y0)，则线段OP的中点坐标为(，)，线段MN的中点坐标为(，)．由于平行四边形的对角线互相平分，故＝，＝.从而因为N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3)2＋(y－4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x＋3)2＋(y－4)2＝4，但应除去两点(－，)和(－，)(点P在直线OM上时的情况)．15．(文)已知点A(－3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．[分析] (1)设出点P的坐标，由|PA|＝2|PB|写出方程，化简即可；(2)直线l2与曲线C只有一个公共点M，故l2与C相切，当|QC|取最小值时，|QM|取到最小值，故|CQ|为点C到l1的距离时满足要求．[解析] (1)设点P的坐标为(x，y)，则＝2，化得可得(x－5)2＋y2＝16即为所求．(2)曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．14\n由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，则|QM|＝＝，当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，|CQ|＝＝4，此时|QM|的最小值为＝4.(理)已知过两定圆的一个交点O的动直线与两圆分别交于点A、B，求线段AB中点P的轨迹方程．[解析] 以O为原点建立平面直角坐标系如图．因为两定圆均过原点O，故可设其方程分别为：x2＋y2－2ax－2by＝0，①x2＋y2－2cx－2dy＝0.②当动直线斜率存在时，设其方程为y＝kx.③将方程③分别与方程①②联立，可得xA＝，xB＝.设线段AB的中点为P(x，y)，则14\nx＝＝.④∵点P在直线y＝kx上，∴将k＝代入④消去k得，x＝.整理得x2＋y2－(a＋c)x－(b＋d)y＝0.⑤当动直线斜率不存在时，其方程为x＝0，分别代入①②可得A(0,2b)，B(0,2d)，则AB的中点P为(0，b＋d)，将此代入⑤式，仍成立．∴所求动点P的轨迹方程为：x2＋y2－(a＋c)x－(b＋d)y＝0.16．(文)设O点为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有两点P、Q关于直线x＋my＋4＝0对称，且·＝0.(1)求m的值；(2)求直线PQ的方程．[解析] (1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1,3)，半径为3的圆．∵点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称．∴圆心(－1,3)在直线上，代入直线方程得m＝－1.(2)∵直线PQ与直线y＝x＋4垂直，∴设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ方程为y＝－x＋b.将y＝－x＋b代入圆方程得，2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.Δ＝4(4－b)2－8×(b2－6b＋1)>0，∴2－3<b<2＋3，由韦达定理得，x1＋x2＝b－4，x1·x2＝，y1·y2＝(－x1＋b)(－x2＋b)＝b2－b(x1＋x2)＋x1·x2＝，∵·＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，14\n即＋＝0.解得b＝1∈(2－3，2＋3)．∴所求的直线方程为y＝－x＋1.(理)(2012·河南六市联考)已知直线l与抛物线x2＝4y相切于点P(2,1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为(2,0)，动点Q满足·＋||＝0.(1)求动点Q的轨迹C的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，只要该圆的切线与切点Q的轨迹C有两个不同交点M，N，就一定有·＝0？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．[解析] (1)由x2＝4y得y＝x2，∴y′＝x，∴直线l的斜率为y′|x＝2＝1，故l的方程为：y－1＝1(x－2)，即y＝x－1，∴点A坐标为(1,0)，设Q(x，y)，则＝(1,0)，＝(x－2，y)，＝(x－1，y)，由·＋||＝0得，x－2＋0＋＝0，化简整理得＋y2＝1，故动点Q的轨迹C的方程为：＋y2＝1.(2)假设存在这样的圆，其方程为x2＋y2＝r2(r>0)．(ⅰ)当直线MN的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m代入＋y2＝1，可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，判别式Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，∴m2<1＋2k2，①设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，②x1x2＝，③14\n由·＝0，可得x1x2＋y1y2＝0，即x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0，④将②③代入④得－＋m2＝0，m2＝(1＋k2)，⑤显然满足①式由直线MN：y＝kx＋m与圆x2＋y2＝r2相切知：r＝，∴r＝＝，即存在圆x2＋y2＝满足题意．(ⅱ)当直线MN的斜率不存在时，可得x1＝x2＝或x1＝x2＝－，y1＝－y2＝，满足·＝0，综上所述：存在圆x2＋y2＝满足题意．1．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为( )A．4B.C.D．5[答案] B[解析] 由题意知圆心在双曲线顶点和焦点连线的垂直平分线上，顶点A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，A1F1的垂直平分线x＝－4，代入双曲线方程中得，y＝±，∴圆心到双曲线中心距离为d＝＝，A1F2的中垂线x＝1与双曲线无交点，故选B.2．(2011·太原模拟)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是( )A．k∈(－，)B．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)C．k∈(－，)14\nD．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)[答案] C[解析] 由圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点得圆心(0,0)到直线y＝kx＋2的距离大于半径1，即>1，由此解得－<k<，因此选C.3．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )A.B.C.D.[答案] A[解析] 画出可行域如图，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.4．(2012·广州市综合测试)已知圆O：x2＋y2＝r2，点P(a，b)(ab≠0)是圆O内一点，过点P的圆O的最短弦所在的直线为l1，直线l2的方程为ax＋by＋r2＝0，那么( )A．l1∥l2，且l2与圆O相离B．l1⊥l2，且l2与圆O相切C．l1∥l2，且l2与圆O相交D．l1⊥l2，且l2与圆O相离[答案] A[解析] 先求出l1的斜率k＝－＝－，显然l1∥l2；14\n∵a2＋b2<r2，∴d＝>r，所以直线l2与圆O相离．14
