课时提升作业(四十五)圆的方程一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知一圆的圆心为点(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是( )A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52【解析】选A.因为圆心(2,-3)是直径的中点,所以此直径的两个端点坐标分别为(4,0),(0,-6),所以半径长r=所以所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.2.(2022·天津模拟)已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则取最大面积时,该圆的圆心的坐标为( )A.(-1,1)B.(-1,0)C.(1,-1)D.(0,-1)【解析】选D.由x2+y2+kx+2y+k2=0知所表示圆的半径r=当k=0时,rmax==1,此时圆的方程为x2+y2+2y=0,即x2+(y+1)2=1,所以圆心为(0,-1).3.若圆x2+y2-2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形,则a-b的取值范围是( )A.(-∞,4)B.(-∞,0)C.(-4,+∞)D.(4,+∞)【解析】选A.将圆的方程变形为(x-1)2+(y+3)2=10-5a,可知,圆心为(1,-3),且10-5a>0,即a<2.因为圆关于直线y=x+2b对称,所以圆心在直线y=x+2b上,即-3=1+2b,解得b=-2,所以a-b<4.-10-\n【方法技巧】两种对称问题的解决方法(1)点(a,b)关于直线y=x+m的对称点坐标为(b-m,a+m).(2)点(a,b)关于直线y=-x+m的对称点坐标为(-b+m,-a+m).4.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.πB.4πC.8πD.9π【解析】选B.设P(x,y),由题意有,(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积为4π.【加固训练】如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.【解析】设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),连接OR,PR,则在Rt△ABP中,|AR|=|PR|.又R是弦AB的中点,所以在Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-(+),又|AR|=|PR|=,所以有(x1-4)2+=36-(+),即+-4x1-10=0.因此点R在一个圆上,而当R在此圆上运动时,点Q即在所求的轨迹上运动.设Q(x,y),因为R是PQ的中点,所以x1=,y1=,代入方程+-4x1-10=0,得整理得:x2+y2=56,即所求Q点的轨迹方程为x2+y2=56.5.已知两点A(0,-3),B(4,0),若点P是圆C:x2+y2-2y=0上的动点,则△ABP面积的最小值为 ( )-10-\nA.6B.C.8D.【解题提示】经验证可知A,B两点均在圆C的外部,因此要使△ABP的面积最小,则P到直线AB的距离最小.【解析】选B.如图,过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P,这时△ABP的面积最小.直线AB的方程为+=1,即3x-4y-12=0,圆心C到直线AB的距离为d==,所以△ABP的面积的最小值为×5×(-1)=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·泰州模拟)若过点P(a,a)可作圆x2+y2-2ax+a2+2a-3=0的两条切线,则实数a的取值范围是 .【解析】圆的方程可化为(x-a)2+y2=3-2a,因为过点P(a,a)能作圆的两条切线,所以点P在圆的外部,即解之得a<-3或1<a<.故a的取值范围为(-∞,-3)∪(1,).答案:(-∞,-3)∪(1,）7.(2022·长沙模拟)已知圆M的圆心在直线x-y-4=0上并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点,则圆M的标准方程为 .【解析】设两圆交点为A,B,由方程组求得故点A(-1,3),B(-6,-2),因此AB的垂直平分线的方程为x+y+3=0.再由故圆心为-10-\n所以所求的圆的方程为(x-)2+(y+)2=.答案:(x-)2+(y+)2=【加固训练】若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程是 .【解析】设圆心C(a,b)(a>0,b>0),由题意可得b=1.又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1,解得a=2或a=-(舍去).所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1.答案:(x-2)2+(y-1)2=18.(2022·聊城模拟)已知x,y满足x2+y2=1,则的最小值为 .【解析】表示圆上的点P(x,y)与点Q(1,2)连线的斜率,所以的最小值是直线PQ与圆相切时的斜率.设直线PQ的方程为y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0.由结合图形可知,≥,故最小值为.答案:三、解答题9.(10分)已知以点P为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且|CD|=4.(1)求直线CD的方程.(2)求圆P的方程.【解题提示】因为A,B为圆P上的两点,故直线CD过圆心.【解析】(1)直线AB的斜率k=1,AB的中点坐标为(1,2).则直线CD的方程为y-2=-(x-1),即x+y-3=0.(2)设圆心P(a,b),则由P在CD上得a+b-3=0. ①又因为直径|CD|=4,所以|PA|=2,所以(a+1)2+b2=40. ②-10-\n由①②解得或所以圆心P(-3,6)或P(5,-2).所以圆P的方程为(x+3)2+(y-6)2=40或(x-5)2+(y+2)2=40.【加固训练】1.(2022·湛江模拟)已知△ABC的顶点坐标分别为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,3),M是BC的中点.(1)求AB边所在直线的方程.(2)求以线段AM为直径的圆的方程.【解析】(1)因为A(-1,5),B(-2,-1),所以由两点式得AB的方程为=,整理得y=6x+11.(2)因为M是BC的中点,所以M（,）,即M(1,1),所以|AM|==2,所以圆的半径为.所以AM的中点为（,）,即中点为(0,3),所以以线段AM为直径的圆的方程为x2+(y-3)2=5.2.(2022·新课标全国卷Ⅱ)在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程.(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【解题提示】第(1)问紧紧抓住“圆心到直线的距离”这个关键量,利用垂径定理,消去参数r直接求得轨迹方程.第(2)问利用待定系数法,根据题设条件,利用方程思想,求待定系数.【解析】(1)设P(x,y),圆P的半径为r.由题设y2+2=r2,x2+3=r2.从而y2+2=x2+3.故圆心P的轨迹方程为y2-x2=1.-10-\n(2)设P(x0,y0).由已知得=.又P点在双曲线y2-x2=1上,从而得此时,圆P的半径r=.此时,圆P的半径r=.故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.3.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程.(2)直角边BC中点M的轨迹方程.【解析】(1)设顶点C(x,y),因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,所以x≠3且x≠-1.又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3且x≠-1).(2)设点M(x,y),点C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=(x≠3且x≠1),y=,于是有x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3且x≠-1)上运动,将x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此直角边BC中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(x≠3且x≠1).(20分钟 40分)1.(5分)(2022·威海模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx+2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最小值是( )-10-\n【解析】选A.圆C的方程可化为(x-4)2+y2=1,易知圆C的圆心为(4,0),半径为1.由题意知,直线y=kx+2上存在一点A,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则AC≤1+1成立,即AC≤2.因为AC=所以≤2,解得-≤k≤0.所以k的最小值是-,选A.2.(5分)在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为 .【解析】曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点是(3+2,0),(3-2,0),设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则有解得故圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0.答案:x2+y2-6x-2y+1=0【一题多解】本题还可以按如下方法求解曲线y=x2-6x+1与y轴的交点为(0,1),与x轴的交点为(3+2,0),(3-2,0).故可设C的圆心为(3,t),则有32+(t-1)2=(2)2+t2,解得t=1,则圆C的半径为=3,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-1)2=9.答案:(x-3)2+(y-1)2=93.(5分)(2022·温州模拟)已知直线l:x+y-2=0和圆C:x2+y2-12x-12y+54=0,则与直线l和圆C都相切且半径最小的圆的标准方程是 .【解析】圆:x2+y2-12x-12y+54=0的圆心C(6,6),半径r=3-10-\n,圆心C(6,6)到x+y-2=0的距离:d==5,与直线x+y-2=0和圆x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的圆心在过C与x+y-2=0垂直的直线l1上,所求圆的半径R=(5-3)=,直线l1:y-6=x-6,即y=x,设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-a)2=2,解方程组得x+y-2=0与l1的交点(1,1),解方程:(a-1)2+(a-1)2=2,得a=2,或a=0不符合已知条件,舍去,所以所求圆的方程为:(x-2)2+(y-2)2=2.答案:(x-2)2+(y-2)2=2【加固训练】已知点P(2,2),点M是圆O1:x2+(y-1)2=上的动点,点N是圆O2:(x-2)2+y2=上的动点,则|PN|-|PM|的最大值是 ( )A.-1B.-2C.2-D.3-【解析】选D.|PN|-|PM|的最大值是|PO2|+-(|PO1|-)=|PO2|-|PO1|+1=2-+1=3-.4.(12分)已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C,求此曲线的方程.(2)若点Q在直线l1:x+y+3=0上,直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M,求|QM|的最小值.【解析】(1)设点P的坐标为(x,y),则=2.化简可得(x-5)2+y2=16,此即为所求.(2)曲线C是以点(5,0)为圆心,4为半径的圆,如图,-10-\n由直线l2是此圆的切线,连接CQ,CM,则|QM|==,当CQ⊥l1时,|CQ|取最小值,|CQ|==4,此时|QM|的最小值为=4.【方法技巧】解决有关圆的最值问题一般要“数”与“形”结合,根据圆的知识探求最值时的位置关系.解析几何中数形结合思想主要表现在以下两方面:(1)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题.(2)研究图形的形状、位置关系、性质等.5.(13分)(能力挑战题)如图,经过B(1,2)作两条互相垂直的直线l1和l2,l1交y轴正半轴于点A,l2交x轴正半轴于点C.(1)若A(0,1),求点C的坐标.(2)试问是否总存在经过O,A,B,C四点的圆?若存在,求出半径最小的圆的方程;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)先求l1的方程,进而可求l2的方程,即可得到点C的坐标.(2)因为AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径,分类讨论,确定A,C的坐标,表示出AC,即可求得结论.【解析】(1)由直线l1经过两点A(0,1),B(1,2),得l1的方程为x-y+1=0.由直线l2⊥l1,且直线l2经过点B,得l2的方程为x+y-3=0.所以,点C的坐标为(3,0).(2)因为AB⊥BC,OA⊥OC,所以总存在经过O,A,B,C四点的圆,且该圆以AC为直径.①若l1⊥y轴,则l2∥y轴,此时四边形OABC为矩形,|AC|=.②若l1与y轴不垂直,则两条直线斜率都存在.不妨设直线l1的斜率为k,则直线l2-10-\n的斜率为-.所以直线l1的方程为y-2=k(x-1),从而A(0,2-k);直线l2的方程为y-2=-(x-1),从而C(2k+1,0).令解得k∈(-,2),注意到k≠0,所以k∈(-,0)∪(0,2).此时|AC|2=(2-k)2+(2k+1)2=5k2+5>5,|AC|>,所以半径的最小值为.此时圆的方程为+(y-1)2=.-10-
