3-1导数的概念及运算基础巩固强化1.(文)已知函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝( )A. B.C.D．1[答案] B[解析] ∵y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝∴y0＝代入y＝ax2＋1得，＝＋1，∴a＝故选B.(理)(2011·山东文，4)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )A．－9 B．－3C．9D．15[答案] C[解析] 由y＝x3＋11知y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以过点P(1,12)的切线方程为y－12＝3(x－1)，即3x－y＋9＝0，令x＝0得y＝9，故选C.2．(文)曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2[答案] A[解析] ∵y′＝＝，∴k＝y′|x＝－1＝＝2，∴切线方程为：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.(理)(2012·烟台调研)设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于( )A．2B．－2C．－D.13\n[答案] B[解析] ∵f′(x)＝＝－，∴f′(3)＝－，由条件知，－×(－a)＝－1，∴a＝－2.3．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x＋)2－，顶点(－，－)在第三象限，故选C.4．(文)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1B．－2C．2D．0[答案] B[解析] f′(x)＝4ax3＋2bx，f′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)，f′(1)＝4a＋2b，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2，故选B.[点评] 要善于观察，由f′(x)＝4ax3＋2bx知，f′(x)为奇函数，∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.(理)已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f′(1)的值是( )A. B．1 C. D．2[答案] D[解析] 由条件知，y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率f′(1)＝，又点(1，f(1))在切线x－2y＋1＝0上，∴f(1)＝1，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×＝2.5．(文)若函数f(x)＝exsinx，则此函数图象在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为( )13\nA.B．0C．钝角D．锐角[答案] C[解析] y′|x＝4＝(exsinx＋excosx)|x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.(理)已知f(x)＝logax(a>1)的导函数是f′(x)，记A＝f′(a)，B＝f(a＋1)－f(a)，C＝f′(a＋1)，则( )A．A>B>CB．A>C>BC．B>A>CD．C>B>A[答案] A[解析] 记M(a，f(a))，N(a＋1，f(a＋1))，则由于B＝f(a＋1)－f(a)＝，表示直线MN的斜率，A＝f′(a)表示函数f(x)＝logax在点M处的切线斜率；C＝f′(a＋1)表示函数f(x)＝logax在点N处的切线斜率．所以，A>B>C.6．(文)已知函数f(x)＝kcosx的图象经过点P，则函数图象上过点P的切线斜率等于( )A．1B.C．－D．－1[答案] C[解析] f＝kcos＝1⇒k＝2，f′(x)＝－ksinx，∴点P处切线斜率为k′＝f′＝－2sin＝－.(理)设函数f(x)＝sin－1(ω>0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)图象的一条对称轴方程是( )A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝[答案] A[解析] f′(x)＝ωcos的最大值为3，13\n即ω＝3，∴f(x)＝sin－1.由3x＋＝＋kπ得，x＝＋ (k∈Z)．故A正确．7．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a＝________.[答案] 1[解析] 由y′|x＝1＝2a＝2得a＝1.8．(2012·苏州十校联考)已知函数f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f()＝________.[答案] 0[解析] 由条件知，f′(x)＝f′()cosx－sinx.∴f′()＝－1，∴f(x)＝－sinx＋cosx，∴f()＝0.9．(2011·宁波市期末)对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和是________．[答案] 2n＋1－2[解析] ∵y＝xn(1－x)，∴y′＝(xn)′(1－x)＋(1－x)′·xn＝n·xn－1(1－x)－xn.f′(2)＝－n·2n－1－2n＝(－n－2)·2n－1.在点x＝2处点的纵坐标为y＝－2n.∴切线方程为y＋2n＝(－n－2)·2n－1(x－2)．令x＝0得，y＝(n＋1)·2n，∴an＝(n＋1)·2n，∴数列的前n项和为＝2n＋1－2.10．(文)已知曲线y＝x3＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程．[解析] y＝x3＋，则y′＝x2.13\n(1)由题意可知点P(2,4)为切点，y′|x＝2＝22＝4，所以曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)由题意可知点P(2,4)不一定为切点，故设切点为(x0，x＋)，y′|x＝x0＝x，曲线过点P(2,4)的切线方程为y－(x＋)＝x(x－x0)，所以4－(x＋)＝x(2－x0)，x－3x＋4＝0⇔(x＋1)－3(x－1)＝0⇔(x0＋1)(x－4x0＋4)＝0.解得x0＝－1或x0＝2，即切点为(－1,1)或(2,4)．所以曲线过点P(2,4)的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.(理)设函数f(x)＝ax＋的图象在点M(，f())处的切线方程为2x－3y＋2＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调递减区间；(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．[解析] (1)因为切点在切线上，所以将点M坐标代入切线方程解得f()＝.∵f(x)＝ax＋，∴f′(x)＝a－，根据题意，得关于a、b的方程组解得所以f(x)的解析式为f(x)＝x＋.(2)由f′(x)＝1－(x≠0)，令f′(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1.所以f(x)的单调递减区间为(－1,0)，(0,1)．(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1－知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为13\ny－y0＝(1－)(x－x0)，即y－(x0＋)＝(1－)(x－x0)．令x＝0，得y＝，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为(0，)．令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝2.能力拓展提升11.(文)函数f(x)＝xcosx的导函数f′(x)在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f(x)＝xcosx，∴f′(x)＝cosx－xsinx，∴f′(－x)＝f′(x)，∴f′(x)为偶函数，排除C；∵f′(0)＝1，排除D；由f′＝－<0，f′(2π)＝1>0，排除B，故选A.(理)函数f(x)＝e2x的图象上的点到直线2x－y－4＝0的距离的最小值是( )A.B.C.D.[答案] B[解析] 设l为与直线2x－y－4＝0平行的函数f(x)＝e2x的图象的切线，切点为(x0，y0)，则kl＝f′(x0)＝2e2x0＝2，∴x0＝0，y0＝1，∴切点(0,1)到直线2x－y－4＝0的距离d＝＝即为所求．12．(文)已知函数f(x)＝xp＋qx＋r，f(1)＝6，f′(1)＝5，f′(0)＝3，an＝，n∈N＋，则数列{an}的前n项和是( )13\nA.B.C.D.[答案] D[解析] ∵f′(x)＝pxp－1＋q，由条件知∴∴f(x)＝x2＋3x＋2.∴an＝＝＝＝－∴{an}的前n项和为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＋＋…＋＝－＝.(理)定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝x，h(x)＝ln(x＋1)，φ(x)＝x3－1的“新驻点”分别为α、β、γ，则α、β、γ的大小关系为( )A．α>β>γB．β>α>γC．γ>α>βD．β>γ>α[答案] C[解析] 由g(x)＝g′(x)得，x＝1，∴α＝1，由h(x)＝h′(x)得，ln(x＋1)＝，故知1<x＋1<2，∴0<x<1，即0<β<1，由φ(x)＝φ′(x)得，x3－1＝3x2，∴x2(x－3)＝1，∴x>3，故γ>3，∴γ>α>β.[点评] 对于ln(x＋1)＝，假如0<x＋1<1，则ln(x＋1)<0，>1矛盾；假如x＋1≥2，则≤，即ln(x＋1)≤，∴x＋1≤，∴x≤－1与x≥1矛盾．13．(2013·武汉市部分学校12月联考)设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )A．y＝3x＋1B．y＝－3xC．y＝－3x＋1D．y＝3x－3[答案] B[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋a－3为偶函数，∴a＝0，13\n∴f(x)＝x3－3x，f′(0)＝－3，∴所求切线方程为y＝－3x.14．(文)(2012·唐山二模)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，都有f(x)≥0，则的最小值为________．[答案] 2[解析] f′(x)＝2ax＋b，由条件f′(0)>0得b>0，又对任意x∈R都有f(x)≥0，∴∴b≤2.∴＝＝＋1≥＋1≥2等号在即b＝2a＝2c时成立．∴的最小值为2.(理)设函数f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)为奇函数，则φ＝________.[答案] [解析] f′(x)＝－sin(x＋φ)，由条件知cos(x＋φ)－sin(x＋φ)＝2sin＝－2sin为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝.15．求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋3x2＋；(2)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝；(5)y＝xcosx－sinx；(6)(理)y＝cos32x＋ex；(7)(理)y＝lg.[解析] 可利用导数公式和导数运算法则求导．(1)y′＝′－′＋(3x2)′＋()′＝x4－4x2＋6x.13\n(2)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4，或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln3·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)y′＝＝＝.(5)y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(6)(理)y′＝3cos22x·(cos2x)′＋ex＝－6sin2x·cos22x＋ex.(7)(理)y′＝′＝··(1－x2)′＝.16．(文)已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程；(2)求由直线l1、l2和x轴所围成的三角形的面积．[解析] (1)∵y′＝2x＋1，∴曲线在点(1,0)处的切线斜率为k＝3，故l1：y＝3x－3；又l1⊥l2，∴l2的斜率k1＝－，由2x＋1＝－得，x＝－，∴直线l2与曲线切点为，∴l2：y＝－x－.(2)解方程组得所以直线l1和l2的交点坐标为.13\nl1、l2与x轴交点的坐标分别为(1,0)、.所以所求三角形的面积S＝××＝.(理)设函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴交点为P，且曲线在P点处的切线方程为12x－y－4＝0.若函数在x＝2处取得极值0，试确定函数的解析式.[解析] ∵y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象与y轴的交点为P(0，d)，又曲线在点P处的切线方程为y＝12x－4，P点坐标适合方程，从而d＝－4；又切线斜率k＝12，故在x＝0处的导数y′|x＝0＝12而y′|x＝0＝c，从而c＝12；又函数在x＝2处取得极值0，所以即解得a＝2，b＝－9所以所求函数解析式为y＝2x3－9x2＋12x－4.1.(2012·山西省联合模拟二)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)＝( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] D[解析] 由条件知(1，f(1))在直线x－y＋2＝0上，且f′(1)＝1，∴f(1)＋f′(1)＝3＋1＝4.2．(2012·昆明一中检测)曲线y＝e－x＋2x在点(0,1)处的切线方程为( )A．y＝x＋1B．y＝x－113\nC．y＝3x＋1D．y＝－x＋1[答案] A[解析] ∵y′＝－e－x＋2，∴y′|x＝0＝1，∴切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1，故选A.3.函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，则y＝f(x)的图象的顶点在( )A．第Ⅰ象限B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限D．第Ⅳ象限[答案] A[解析] 因为y＝f′(x)的图象是直线，所以y＝f(x)是二次函数．又f(x)的图象过原点，所以可设：f(x)＝ax2＋bx，∴f′(x)＝2ax＋b.结合f′(x)的图象可知，a<0，b>0.∴－>0，＝－>0，即顶点在第一象限．4．已知函数g(x)＝x3＋x2－x(x>0)、h(x)＝ex－x，p(x)＝cos2x,0<x<π的导函数g′(x)、h′(x)、p′(x)的零点依次为x1、x2、x3，则将x1、x2、x3按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x2<x1<x3[解析] 由g′(x)＝3x2＋2x－1＝0得x＝－1或x＝，∵x>0，∴x＝；由h′(x)＝ex－1＝0得，x＝0；13\n由p′(x)＝－2sin2x＝0得，2x＝kπ，k∈Z，∴x＝(k∈Z)，∵0<x<π，∴x＝，∴x1＝，x2＝0，x3＝，故有x2<x1<x3.5．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝ex.(1)若函数φ(x)＝f(x)－，求函数φ(x)的单调区间；(2)设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0))处的切线．证明：在区间(1，＋∞)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y＝g(x)相切．[解析] (1)φ(x)＝f(x)－＝lnx－，φ′(x)＝＋＝.∵x>0且x≠1，∴φ′(x)>0，∴函数φ(x)的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)．(2)∵f′(x)＝，∴f′(x0)＝，∴切线l的方程为y－lnx0＝(x－x0)，即y＝x＋lnx0－1， ①设直线l与曲线y＝g(x)相切于点(x1，ex1)，∵g′(x)＝ex，∴ex1＝，∴x1＝－lnx0.∴直线l也为y－＝(x＋lnx0)，即y＝x＋＋， ②由①②得lnx0－1＝＋，∴lnx0＝.下证：在区间(1，＋∞)上x0存在且唯一．由(1)可知，φ(x)＝lnx－在区间(1，＋∞)上递增．又φ(e)＝lne－＝<0，φ(e2)＝lne2－＝>0，结合零点存在性定理，说明方程φ(x)＝0必在区间(e，e2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x0.13\n故结论成立．6．(2012·衡水质量检测)已知函数f(x)＝x3－ax2＋(b－1)x＋c(a>0)，曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.(1)求b、c的值；(2)若过点(0,3)可作曲线g(x)＝f(x)－x的三条不同切线，求实数a的取值范围．[解析] (1)f′(x)＝x2－ax＋(b－1)，由题意知，f(0)＝1，f′(0)＝1，∴b＝2，c＝1.(2)设过(0,3)与曲线g(x)＝f(x)－x相切的直线为l，切点的坐标为(t，g(t))，又g(x)＝x3－ax2＋1，g′(x)＝x2－ax，则切线l的方程为y－(t3－at2＋1)＝(t2－at)(x－t)．又直线l过点(0,3)，∴3－t3＋at2－1＝－t3＋at2，即t3－t2＋2＝0，又过点(0,3)可作曲线g(x)＝f(x)－x的三条不同切线．等价于方程t3－t2＋2＝0有三个相异实根．令h(t)＝t3－t2＋2，h′(t)＝2t2－at＝t·(2t－a)．∵a>0，∴t，h′(t)，h(t)的变化情况如下表：t(－∞，0)0(0，)(，＋∞)h′(t)＋0－0＋h(t)单调递增极大值2单调递减极小值2－单调递增由h(t)的单调性知：要使h(t)＝0有三个相异实根，当且仅当2－<0，即a>2.∴a的取值范围是(2，＋∞)．13
