数学2013高考预测题7一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分。1．设集合，则A∩B为A．[0，3]B．C．D．[1，3]2．若复数（a+i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是A．－lB．1C．D．一3．在等差数列{}中，，则数列{}前9项的和S9等于A．24B．48C．72D．1084．下图给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．B．C．D．5．某小区有排成一排的个车位，现有辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为A．16B．18C．24D．326．若，，,则下列结论正确的是A．B．C．D．7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是，某次测试数学平均分分别是，则这两个班的数学平均分为；-12-\n②名工人某天生产同一零件，生产的件数是设其平均数为,中位数为,众数为，则有；③从总体中抽取的样本，则回归直线=必过点（）④已知服从正态分布,，且，则其中正确的个数有：A．个B．个C．个D．个8．设实数满足：，则的最小值是A．B．C．1D．89．下图给出的是计算…的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是A．B．C．D．10．已知，则A．B．C．D．-12-\n11．五个人站成一排照相，其中甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同站法有A．60种B．48种C．36种D．24种12．已知是定义在R上的周期为2的偶函数，当时，，设，，则a、b、c的大小关系为A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分13．的展开式中常数项是_______.（用数字作答）14．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则等于_______.15．已知向量与，且与的夹角为，则.16．由5个元素构成的集合，记的所有非空子集为，，，，每一个中所有元素的积为，则.三、解答题：17．已知函数.（Ⅰ）求函数的值域；（Ⅱ）在△中，角所对的边分别为，若，且，求的值18．李先生家住小区，他工作在科技园区，从家开车到公司上班路上有、两条路线（如图），路线上有、、三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；路线上有、两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，.（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；-12-\n（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.19．图（1），矩形中，已知，,分别为和的中点，对角线与交于点，沿把矩形折起，使平面与平面所成角为，如图（2）（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值.20．已知正数数列的前n项和为，满足；（I）求证：数列为等差数列，并求出通项公式；（II）设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围。21．如图，已知、分别为椭圆的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点M是与在第二象限的交点，且-12-\n（I）求椭圆的方程；（II）已知点和圆，过点P的动直线与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足：，（且），求证：点Q总在某条定直线上。22．已知函数，当时，函数取得极大值.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得。试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数，满足，求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数，都有。参考答案-12-\n一、选择题：1-8BADBCDBCBBACD二、填空题：13．-220；14．60；15．；16．16．解：（1）………………………3分∵，∴…………………………………………4分∴…………………………………………5分∴函数的值域为………………………………………6分（2），…………………7分∴，而，∴.…………………8分在中，，，………………………9分∴，得………………………10分解得：…………………11分∵，∴.……………………12分17．解：（Ⅰ）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件，……………1分则 ， ……………3分所以走路线，最多遇到1次红灯的概率为. ……………4分（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2. ……………5分，，.…………8分随机变量的分布列为：012-12-\n所以. ……………10分（Ⅲ）设选择路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，所以.因为，所以选择路线上班最好.……………12分18．解：（1）由题设，M，N是矩形的边AD和BC的中点，所以AMMN,BCMN,折叠垂直关系不变，所以∠AMD是平面与平面的平面角，依题意，所以∠AMD=60o，………………………………………………2分由AM=DM，可知△MAD是正三角形，所以AD=，在矩形ABCD中，AB=2,AD=,所以，BD=，由题可知BO=OD=，由勾股定理可知三角形BOD是直角三角形，所以BO⊥DO……………………………………………5分解（2）设E，F是BD，CD的中点，则EFCD，OFCD，所以，CD面OEF，又BO=OD，所以BD，面ABCD，面，平面BOD⊥平面ABCD过A作AH⊥BD，由面面垂直的性质定理,可得AH⊥平面BOD，连结OH，………8分所以OH是AO在平面BOD的投影，所以∠AOH为所求的角，即AO与平面BOD所成角.……11分AH是RT△ABD斜边上的高，所以AH=，BO=OD=，所以sin∠AOH=（14分）方法二：空间向量：取MD，NC中点P，Q，如图建系，-12-\nQ（0，0，0），B（，0，0），D（0，，2），O（0，，1）所以（，，1），（0，，所以0，即BO⊥DO（5分）（2）设平面BOD的法向量是，可得：+=0=0，令可得：所以又（，，，设AO与平面BOD所成角为=（14分）19．本题满分14分解：（1）由，得两式相减得因为，所以所以两式相减得，所以-12-\n又，且，所以，所以，所以由，得，所以，数列为等差数列通项公式（注：猜对通项公式，给4分）（2）所以，即对任意成立所以实数a的取值范围为20．（1）解法一：令M为，因为M在抛物线上，故，①又，则②由①②解得，椭圆的两个焦点为，，点M在椭圆上，由椭圆定义，得，又，椭圆的方程为解法二：同上求得M，而点M在椭圆上，故有，即又，即，解得椭圆的方程为（2）证明：设，，-12-\n由，可得⑥⑤即由，可得⑧⑦即⑤×⑦得，⑥×⑧得两式相加，得又点A，B在圆上，，且即，故点Q总在直线上方法二：由，可得，所以由，可得，所以所以，所以（*）当斜率不存在时，由特殊情况得到当斜率存在时，设直线为代入（*）得，而，消去，得而满足方程，所以Q在直线上21．（本题满分14分）-12-\n解：（1）.由，得，此时.当时，，函数在区间上单调递增；当时，，函数在区间上单调递减.函数在处取得极大值，故.………………………3分（2）令，………4分则.∵函数在上可导，存在，使得.，∵当时，，单调递增，；∵当时，，单调递减，；故对任意，都有.…………………………8分（3）用数学归纳法证明.①当时，，且，，，由（Ⅱ）得，即，当时，结论成立.…………………………9分②假设当时结论成立，即当时，.当时，设正数满足，令，-12-\n，则，且.>>…………………………13分当时，结论也成立。综上由①②，对任意，，结论恒成立.…………………………14分-12-
