数学2013高考预测题4本卷分为第Ⅰ（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为A．B．C．D．2、已知，则=A．B．C．D．3、如图，一个空间几何体的三视图如图所示，其中，主视图中是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为A．B．C．D．4、已知为等差数列，若，则的值为-12-\nA．B．C．D．5、“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件B．充要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件6、在边长为1的正三角形中，，，且，则的最大值为A．B．C．D．7．已知是实数，且．则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．半径为的球面上有、、三点，其中点与、两点间的球面距离均为，、两点间的球面距离均为，则球心到平面的距离为A．B．C．D．9．已知函数（为常数），在R上连续，则的值是A．2B．1C．3D．410．定义在R上的函数满足：当时，的值域为，=，则=A．1B．C．D．11．已知是双曲线上的不同三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该双曲线的离心率=-12-\nA．B．C．D．12．抛掷一枚骰子，当它每次落地时，向上的点数称为该次抛掷的点数，可随机出现1到6点中的任一个结果，连续抛掷三次，将第一次，第二次，第三次抛掷的点数分别记为，求长度为的三条线段能构成等腰三角形的概率为A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4题，每小题4，共16分）13、若f（x）在R上可导，，则．14、设面积为S的平面四边形的第条边的边长为，P是该四边形内一点，点P到第条边的距离记为，若，则，类比上述结论，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，Q是该三棱锥内的一点，点Q到第个面的距离记为，若等于。15．在曲线上，仅存在四个点到点距离与到直线的距离相等，则的取值范围是16．定义：对于映射，如果A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称为一一映射．如果存在对应关系，使A到B成为一一映射，则称A和B具有相同的势．给出下列命题：①A={奇数}，B={偶数}，则A和B具有相同的势；②A是直角坐标系平面内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；③若A=，其中是不共线向量，B=，则A和B不可能具有相同的势；④若区间A=，B=，则A和B具有相同的势．-12-\n其中真命题为三、解答题（本大题共6小题，共74分）每题要求写出详细的计算或解答过程．17、（满分12分）阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有------①------②由①+②得------③令有代入③得．（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:;（Ⅱ）若的三个内角满足,试判断的形状．（提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）18、（本题满分12分）如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步（如由A到B）；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步（如由A到C），当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步（如由A到D）．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求质点P恰好返回到A点的概率；（2）在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．19、（本题满分12分）如图，在三棱锥中，-12-\n（1）求证：平面⊥平面（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值为，求BM的最小值．20．（本小题满分12分）已知椭圆上任一点，由点向轴作垂线段，垂足为，点在上，且，点的轨迹为．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）过点作直线与曲线交于、两点，设是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（为原点），且四边形为矩形，求出直线的方程．21．（本小题满分12分）已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有（的常数），记．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）当时，设，求数列的前项和．-12-\n22．（本小题满分14分）已知是函数的反函数，（Ⅰ）解关于的不等式：；（Ⅱ）当时，过点是否存在函数图象的切线？若存在，有多少条？若不存在，说明理由；（Ⅲ）若是使恒成立的最小值，试比较与的大小。参考答案一、1-12ACDACBCBBCDB12题：连续抛掷三次，点数分别为的基本事件总数为长度为的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形①当时，能构成等边三角形，有共6种可能．②当恰有两个相等时，设三边长为，其中，且;若，则只能是或，共有2种可能;若，则只以是，共有4种可能;若，则只以是集合中除外的任一个数，共有种可能;∴当恰有两个相等时，符合要求的共有故所求概率为二、13、-1814、15．；16．①③④三、17、解法一：（Ⅰ）证明：因为，------①，------②…………………1分①-②得．------③………………2分令有，-12-\n代入③得．………………………5分（Ⅱ）由二倍角公式,可化为,………………………………8分所以．…………………………………9分设的三个内角A,B,C所对的边分别为，由正弦定理可得．………………………………11分根据勾股定理的逆定理知为直角三角形．………………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论和二倍角公式,可化为，………………………8分因为A,B,C为的内角，所以，所以．又因为，所以,所以．从而．……………………………………………9分又,所以，故．………………………11分所以为直角三角形．………………………………12分18、解析：（1）投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1＝＝．只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：（1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为P2＝（）2×3＝；若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：（1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为P3＝（）3×3＝；-12-\n若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1,1,1,1）．其概率为P4＝（）4＝．所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝＋＋＝．6分（2）由（1）知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2，3，4，则P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，P（ξ＝4）＝，所以，Eξ＝2×＋3×＋4×＝．12分19、（满分12分）解：（1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC，⊿POA≌⊿POB≌⊿POC，∴OP⊥OB∴OP⊥平面ABC，∵OP在平面PAC中，∴平面⊥平面4分（2）以O为坐标原点，OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），C（0，2，0），P（0，0，），5分∴设平面PBC的法向量，由得方程组，取6分-12-\n∴∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为。8分（2）由题意平面PAC的法向量，设平面PAM的法向量为∵又因为∴取∴∴11分∴B点到AM的最小值为垂直距离。12分20．（1）设是曲线上任一点，轴，，所以点的坐标为，点在椭圆上，所以，因此曲线的方程是（6分）
（2）当直线的斜率不存在时，显然不满足条件，所以设直线的方程为，直线与椭圆交于，点所在直线方程为，由得
，…………………（8分）
由得，即或
因为，四边形为平行四边形………………………………-12-\n（9分）
又因是矩形，则即，所以…………………（10分）
设，由得
，即点在直线，四边形为矩形，直线的方程为…（12分）21．解：（1）∵，①∴．②②－①，得，即．（3分）在①中令，可得．∴是首项为，公比为的等比数列，．（4分）（2）由题意知，时，由（1）可得．．∴，．（5分）=，-12-\n所以（8分）（3）由（2）可得，又，所以．（12分）22．（1）由已知可得，当时，的定义域为；当时，的定义域为①当时，，原不等式等价于：，可得；②当时，，原不等式等价于：，可得．4分（2）设图象上的切点坐标为，显然，可得，，可得，所以没有实根，故不存在切线．．9分（3）对恒成立，所以，令，可得在区间上单调递减，故，．得，．-12-\n令，，而，即，所以，=．14分-12-
