第03节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题班级__________姓名_____________学号___________得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2022北京，理4】若x，y满足则x+2y的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2.【2022届浙江台州高三上期末】已知实数x,y满足{x≥1y≥12x+y≤6，则x+y的取值范围为()A.[2,5]B.[2,72]C.[72,5]D.[5,+∞)【答案】A【解析】因为x≥1,y≥1⇒x+y≥2，又{2x+y≤6-x≤-1⇒x+y≤5，所以2≤x+y≤514\n，应选答案A.3.【2022北京西城区5月模拟】在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是（）A.B.C.D.【答案】B4.已知满足约束条件若目标函数的最大值是10，则（）A．B．0C．1D．6【答案】A【解析】14\n5.实数满足，若恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：因为实数满足，画出可行域如图，由图可知，当经过点时，有最大值，所以，故选A.14\n6.【2022湖北襄阳四中模拟】设满足约束条件，则的最大值为()A.1024B.256C.8D.4【答案】B平移直线y=2x−u由图象可知当直线y=2x−u过点A时，直线y=2x−u的截距最小，此时u最大，由,解得,即A(5,2).代入目标函数u=2x−y，得u=2×5−2=8，∴目标函数,的最大值是28=256.本题选择B选项.14\n7.【2022贵州贵阳第一中模拟】若变量x,y满足条件x-y≥3x+3y≤7y≥-2，则x2+(y-3)2的最小值是（）A.13B.18C.20D.26【答案】B8.已知满足，的最大值为，若正数满足，则的最小值为（）A.3B.C.2D.【命题意图】本题主要考查简单的线性规划、直线方程以及均值不等式求解最值等，考查基本的逻辑推理与计算能力等，是中档题.【答案】B【解析】如图，画出不等式组所表示的平面区域（阴影部分）.设，显然的几何意义为直线在轴上的截距.由图可知，当直线过点时，直线在轴上截距最大，即目标函数取得最大值.由，解得；所以的最大值为，即.14\n所以.故.当且仅当，即时等号成立.9.设在约束条件下，目标函数的最大值大于2，则的取值范围为（）.A.B.C.D.【答案】B10.【2022湖北武汉调研】某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗原料2千克，原料3千克；生产乙产品1桶需耗原料2千克，原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗原料都不超过12千克的条件下，生产产品、产品的利润之和的最大值为（）A.1800元B.2100元C.2400元D.2700元【答案】C【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶，桶，利润为元，则根据题意可得，14\n作出不等式组表示的平面区域，如图所示，作直线，然后把直线向可行域平移，可得，此时最大，故选C.11．【2022黑龙江大庆大庆实验中学模拟】已知满足，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D12.【2022湖北武汉联考】已知，给出下列四个命题：其中真命题的是()A.B.C.D.14\n【答案】D【解析】可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,所以直线过点A时取最小值；过点A时取最大值；斜率最大值为，到原点距离的平方的最小值为，因此选D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13．【2022江西红色七校联考】设满足约束条件，若的最小值为，则的值为______.【答案】14\n联立解得A(3,−1)，化目标函数z=mx+y为y=−mx+z，目标函数的最小值就是函数在y轴上的截距最小，最小值为：−3，由图可知,m<0,使目标函数取得最小值的最优解为A(3,−1),把A(3,−1)代入z=mx+y=−3,求得m=−14.【2022江西吉安新干县第二中模拟】设O为坐标原点,A(2,1),若点B(x,y)满足x2+y2≤112≤x≤10≤y≤1，则OA⋅OB的最大值是__________．【答案】16315.【2022四川泸州四诊】当实数满足不等式组时，恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】；【解析】绘制不等式组表示的可行域，不等式即：，很明显14\n，则：恒成立，即，目标函数表示可行域内的点与点连线的斜率的相反数，观察可知，目标函数在点处取得最大值，据此可得实数的取值范围是.16．已知点在圆上，点在不等式组，表示的平面区域内，则线段长的最小值是__________．【答案】，14\n，结合图象可得，当共线，如上图时，有最小值；故答案为．三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在直角坐标系中，已知点，，，点在三边围成的区域（含边界）上，且.（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）用表示，并求的最小值.14\n18．已知的三边长满足，，求的取值范围．【解析】设，，则，作出平面区域（如图），由图知：，，∴，即．19．设不等式组表示的区域为，不等式表示的平面区域为.14\n(1)若与有且只有一个公共点，则＝;(2)记为与公共部分的面积，则函数的取值范围是.20．【2022届浙江台州高三4月调研】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx(a,b∈R).（1）若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0,b≥-1时，求证：对任意的实数x∈[0,2]，|f(x)|≤2b+83恒成立.【答案】(1)3a+b的取值范围(-8,0);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）f'(x)=x2+ax+b=0在(0,2)上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组，{f(0)>0f(2)>0Δ>00<-a2<2，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当a=0时，f(x)=13x3+bx，利用导数分b≥0和-1≤b<0两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明2b+83≥|f(x)|max.试题解析：（1）f'(x)=x2+ax+b，由已知可得f'(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点，14\n故有{f'(0)>0f'(2)>0Δ>0-a2∈(0,2)，即{b>02a+b+4>0a2-4b>0a∈(-4,0)，令z=3a+b，由图可知-8<z<0，故3a+b的取值范围(-8,0).（2）证明：f(x)=13x3+bx(b≥-1,x∈[0,2])，所以f'(x)=x2+b，当b≥0时，f'(x)≥0在[0,2]上恒成立，则f(x)在[0,2]上单调递增，故0=f(0)≤f(x)≤f(2)=2b+83，所以|f(x)|≤2b+83；当-1≤b<0时，由f'(x)=0，解得x=-b∈(0,2)，则f(x)在[0,-b]上单调递减，在[-b,2]上单调递增，所以f(-b)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}.因为f(0)=0,f(2)=2b+83>0,f(-b)=23b-b<0，要证|f(x)|≤2b+83，只需证-23b-b≤2b+83，即证-b(-b+3)≤4，因为-1≤b<0，所以0<-b≤1,3<-b+3≤4，所以-b(-b+3)≤4成立.综上所述，对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.14
