（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测（六）限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．i是虚数单位，复数＝( )A．1－i B．－1＋iC．1＋iD．－1－i解析：选C ＝＝＝＝1＋i.2．设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg(x－1)的定义域，则A∩B＝( )A．(1,2)B．[1,2]C．[1,2)D．(1,2]解析：选D 由题可知A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x>1}，故A∩B＝(1,2]．3．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为( )A．101B．808C．1212D．2012解析：选B 依题意得知，甲社区驾驶员的人数占总人数的＝，因此有＝，解得N＝808.4．(2022·山东高考)在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据．则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差解析：选D 只有标准差不变，其中众数、平均数和中位数都加2.5．探索以下规律：则根据规律，从2012到2014，箭头的方向依次是( )A．向上再向右B．向右再向上8\nC．向下再向右D．向右再向下解析：选C 根据题意，分析可得箭头的变化情况以4为周期变化，(n为正整数)具体为从4n到4n＋1：箭头向下；从4n＋1到4n＋2：箭头向右；从4n＋2到4n＋3：箭头向上；从4n＋3到4(n＋1)：箭头向右，则2012＝4×503,2014＝4×503＋2，则箭头方向为先向下再向右．6．小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A．30%B．10%C．3%D．不能确定解析：选C 由图1得到小波一星期的总开支，由图2得到小波一星期的食品开支，从而再借助图2计算出鸡蛋开支占总开支的百分比．由图2知，小波一星期的食品开支为30＋40＋100＋80＋50＝300元，由图1知，小波一星期的总开支为＝1000元，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为×100%＝3%.7．将一颗六个面分别标有1,2,3,4,5,6且质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，将得到的点数分别记为a，b.将a，b,5的值分别作为三条线段的长，则这三条线段能围成等腰三角形的概率为( )A.B.C.D.解析：选B 先后两次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a，b8\n，事件总数为36.因为三角形的一边长为5，所以满足题意的基本事件有(1,5,5)，(2,5,5)，(3,3,5)，(3,5,5)，(4,4,5)，(4,5,5)，(5,1,5)，(5,2,5)，(5,3,5)，(5,4,5)，(5,5,5)，(5,6,5)，(6,5,5)，(6,6,5)，共14个，所以三条线段能围成等腰三角形的概率为＝.8．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n等于( )A．80B．90C．100D．110解析：选C 设第1个小长方形的面积为S，则4个小长方形的面积之和为4S＋×0.1，由题意知，4S＋×0.1＝1，故S＝0.1，又因为＝0.1，所以n＝100.9．下面茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )A.B.C.D.解析：选C 记其中被污损的数字为x，依题意得甲的5次综合测评的平均成绩是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)，令90>(442＋x)，由此解得x<8，即x8\n的可能取值为0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为＝.10．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数．当x∈[0，π]时，0<f(x)<1；当x∈(0，π)且x≠时，f′(x)>0.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为( )A．2B．4C．5D．8解析：选B 依题意，当x∈[0，π]时，0<f(x)<1，由f(x)是偶函数得，当x∈[－π，0]时，0<f(x)<1，即x∈[－π，π]时，0<f(x)<1，由f(x)的周期为2π知，0<f(x)<1恒成立．当x∈[π，2π]时，－1≤sinx≤0，由0<f(x)<1得，y＝f(x)与y＝sinx不相交，即函数y＝f(x)－sinx无零点；当x∈时，由·f′(x)>0得，f′(x)<0，f(x)是减函数，而y＝sinx是增函数，由图像知，y＝f(x)与y＝sinx有1个交点，即函数y＝f(x)－sinx有1个零点；当x∈时，由f′(x)>0得，f′(x)>0，f(x)是增函数，而y＝sinx是减函数，由图像知，y＝f(x)与y＝sinx有一个交点，即函数y＝f(x)－sinx有1个零点．故函数y＝f(x)－sinx在[0,2π]上有2个零点．由周期性得，函数y＝f(x)－sinx在[－2π，0)上有2个零点，即函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上有4个零点．二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)11．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．解析：由题意得an＝(－3)n－1，易知前10项中奇数项为正，偶数项为负，所以小于8的项为第一项和偶数项，共6项，即6个数，所以P＝＝.答案：12．已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于____________cm3.8\n解析：由三视图可得三棱锥的直观图如图所示．三棱锥的底面是两直角边长分别为3,1的直角三角形，且高为2，故V＝××3×1×2＝1(cm3)．答案：113．如图所示是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．(注：方差s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中为x1，x2，…，xn的平均数)解析：该运动员五场比赛中的得分为8,9,10,13,15，平均得分＝＝11，方差s2＝[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8.答案：6.814．(2022·新课标全国卷)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析：f(x)＝＝1＋，考察函数g(x)＝，显然函数g(x)为奇函数，所以g(x)的最大值与最小值的和为0，所以函数f(x)的最大值与最小值的和为2.答案：2三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)15．已知平面直角坐标系中的单位圆区域x2＋y2≤1.若在单位圆区域内的整点(横坐标和纵坐标都是整数的点)中任取三点，求这三个点构成直角三角形的概率；解：如图，单位圆区域内共有五个整点，分别是O(0,0)，A(1,0)，B(0，1)，C(－1,0)，D(0，－1)，从中任取三点的基本事件为OAB，OAC，OAD，OBC，OBD，OCD，ABC，ABD，ACD，BCD，共10个．其中不能构成直角三角形的只有OAC，OBD两个基本事件，故能构成直角三角形的基本事件有8个，故所求的概率P＝＝.16．(2022·安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm时，则视为合格品，否则视为不合格品，在近期一次产品抽样检查中，从某厂生产的此种产品中，随机抽取5000件进行检测，结果发现有50件不合格品．计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位：mm)，将所得数据分组，得到如下频率分布表：8\n分组频数频率[－3，－2)0.10[－2，－1)8(1,2]0.50(2,3]10(3,4]合计501.00(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置；(2)估计该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率；(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查，结果发现有20件不合格品．据此估算这批产品中的合格品的件数．解：如下表所示：(1)频率分布表分组频数频率[－3，－2)50.10[－2，－1)80.16(1,2]250.50(2,3]100.20(3,4]20.04合计501.00(2)由频率分布表知，该厂生产的此种产品中，不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50＋0.20＝0.70.(3)设这批产品中的合格品数为x件，依题意有＝，解得x＝－20＝1980.所以该批产品的合格品件数估计是1980件．17．在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选8\n取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间．现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图．在选取的40名学生中，(1)求成绩在区间[80,90)内的学生人数；(2)从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生的成绩在区间[90,100]内的概率．解：(1)因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80,90)的频率为1－(0.005×2＋0.015＋0.020＋0.045)×10＝0.1，所以，这40名学生中成绩在区间[80,90)的学生人数为40×0.1＝4.(2)设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生的成绩在区间[90,100]内”，由已知和(1)的结果可知成绩在区间[80,90)内的学生有4人，记这四个人分别为a，b，c，d，成绩在区间[90,100]内的学生有2人，记这两个人分别为e，f，则在成绩大于等于80分的学生中选取两名学生的所有可能结果为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为15.事件“至少有一人的成绩在区间[90,100]内”包含的结果有：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，基本事件数为9.所以P(A)＝＝.18．已知中心在原点的椭圆C：＋＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x>0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为＋＝1，因为x>0，所以S△MOF1＝×3×x＝，解得x＝1.8\n故点M的坐标为(1,4)．因为M(1,4)在椭圆上，所以＋＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设直线方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率为4)，由消去y，化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.进而得到x1＋x2＝－，x1x2＝.因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)>0，化简，得m2<162，解得－9<m<9.因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以·＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.又因为y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，所以x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝－＋m2＝0，解得m＝±.由于±∈(－9，9)，所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋或y＝4x－.8
