（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测（一）限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．(2022·潍坊模拟)集合M＝>0，集合N＝{y|y＝x}，则M∩N＝________.A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选B 因为集合M＝(－∞，0)∪(1，＋∞)，集合N＝[0，＋∞)，所以M∩N＝(1，＋∞)．2．(2022·烟台四校联考)给出下列两个命题，命题p1：y＝ln(1－x)(1＋x)为偶函数；命题p2：函数y＝ln是奇函数，则下列命题是假命题的是( )A．p1∧p2B．p1∨(綈p2)C．p1∨p2D．p1∧(綈p2)解析：选D 由偶函数的定义易知命题p1为真命题，对于命题p2，由于f(x)＋f(－x)＝ln＋ln＝ln1＝0，即－f(x)＝f(－x)，故函数在其定义域内为奇函数，因此命题p2为真命题，因此p1∧(綈p2)为假命题．3．命题p：若a·b>0，则a与b的夹角为锐角；命题q：若函数f(x)在(－∞，0]及(0，＋∞)上都是减函数，则f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．下列说法中正确的是( )A．“p且q”是真命题B．“p或q”是假命题C．綈p为假命题D．綈q为假命题解析：选B ∵当a·b>0时，a与b的夹角为锐角或零度角，∴命题p是假命题；命题q是假命题，例如f(x)＝综上可知，“p或q”是假命题．4．设命题p：关于x的不等式a1x2＋b1x＋c1>0与a2x2＋b2x＋c2>0的解集相同；命题q：＝＝，则命题q是命题p的( )A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选D 通过举反例a1＝b1＝c1＝1，a2＝b2＝c2＝－1，可知q不是p8\n的充分条件．由不等式(x－1)2＋1>0和(x－1)2＋2>0的解集都是R，但两个不等式分别整理成ax2＋bx＋c>0的形式后，它们的同类项系数之比不相等，可知q不是p的必要条件．5．(2022·深圳模拟)已知点P(x，y)在不等式组表示的平面区域上运动，则z＝x－y的最小值是( )A．－2 B．2 C．－1 D．1解析：选C 在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域及直线x－y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(0,1)时，相应直线在x轴上的截距达到最小，此时z＝x－y取得最小值，且最小值是－1.6．函数f(x)满足f(0)＝0，其导函数f′(x)的图像如图，则f(x)在[－2,1]上的最小值为( )A．－1B．0C．2D．3解析：选A 由函数f(x)的导函数f′(x)的图像可知，函数f(x)为二次函数，且其图像的对称轴为x＝－1，开口方向向上．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，∵f(0)＝0，∴c＝0，f′(x)＝2ax＋b，又f′(x)的图像过点(－1,0)与点(0,2)，则有∴a＝1，b＝2，∴f(x)＝x2＋2x，则f(x)在[－2,1]上的最小值为f(－1)＝－1.7．函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1在同一直角坐标系下的图像大致是( )解析：选C 函数f(x)＝1＋log2x的图像是把函数y＝log2x的图像向上平移一个单位长度得到的，函数f(x)的图像与x轴的交点坐标为，选项B、C、D中的图像均符合；函数g(x)＝2－x＋1＝x－1的图像是把函数y＝x的图像向右平移一个单位长度得到的，函数g(x)的图像与y轴的交点坐标为(0,2)，选项A、C符合要求．故正确选项为C.8．已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋ax2＋cx的导函数，则它们的图像可能是( )8\n解析：选D 由题意知g(x)＝f′(x)＝ax2＋2ax＋c＝a(x＋1)2＋c－a，则g(x)的图像关于直线x＝－1对称，排除B、C；对选项A，由g(x)的图像知x＝0是f(x)的极小值点，与f(x)的图像不相符，所以只有D项的图像是可能的．9．(2022·合肥模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f()<f(x)的x的取值范围是( )A．(2，＋∞)B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)C．[－2，－1)∪(2，＋∞)D．(－1,2)解析：选C ∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．又∵f()<f(x)，∴f()<f(|x|)，∵f(x)在[0，＋∞)上单调递增，∴<|x|，即解得－2≤x<－1或x>2.10．若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是( )A．多于4个B．4个C．3个D．2个解析：选B 函数y＝f(x)的图像与函数y＝log3|x|的图像如图所示，由图示可得，函数y＝f(x)－log3|x|的零点有4个．二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)11．函数f(x)＝的定义域为________．解析：由题意知解得故1<x<2或2<x≤3.答案：(1,2)∪(2,3]8\n12．设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝2x，则f(2012)＝________.解析：∵f(x＋6)＝－＝f(x)，∴f(x)是以6为周期的函数，∴f(2012)＝f(6×335＋2)＝f(2)．又f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)＝2－2＝.答案：13．已知x>0，y>0，xlg2＋ylg8＝lg2，则＋的最小值是________．解析：因为xlg2＋ylg8＝lg2x＋lg23y＝lg(2x·23y)＝lg2x＋3y＝lg2，所以x＋3y＝1，所以＋＝·(x＋3y)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝，y＝时等号成立，故＋的最小值是4.答案：414．设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)在[－1,0]上是增函数，给出下列四个结论：①f(x)是周期函数；②f(x)的图像关于直线x＝1对称；③f(x)在[1,2]上是减函数；④f(2)＝f(0)．其中正确结论的序号是________(请把正确结论的序号全部写出来)．解析：由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，故函数f(x)是周期函数，①正确；由于函数f(x)是偶函数，故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，函数f(x)的图像关于直线x＝＝1对称，故②正确；由于函数f(x)是偶函数，故f(x)在[0,1]上是减函数，根据对称性，函数f(x)在[1,2]上是增函数(也可根据周期性判断)，故③不正确；根据周期性，f(2)＝f(0)，故④正确．答案：①②④三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)15．已知函数f(x)＝ex(x2＋ax－a)，其中a是常数．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；8\n(2)求f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值．解：(1)由f(x)＝ex(x2＋ax－a)可得f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]．当a＝1时，f(1)＝e，f′(1)＝4e.所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)令f′(x)＝ex[x2＋(a＋2)x]＝0，解得x＝－(a＋2)或x＝0.当－(a＋2)≤0，即a≥－2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝－a；当－(a＋2)>0，即a<－2时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x0(0，－(a＋2))－(a＋2)(－(a＋2)，＋∞)f′(x)0－0＋f(x)f(0)f(－(a＋2))由上表可知函数f(x)在区间[0，＋∞)上的最小值为f(－(a＋2))＝.综上可知，当a≥－2时，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为－a；当a<－2时，f(x)在[0，＋∞)上的最小值为.16．(2022·东城模拟)已知函数f(x)＝2ax3－3ax2＋1，g(x)＝－x＋，a∈R.(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当a≤0时，若对于任意给定的x0∈[0,2]，在[0,2]上总存在两个不同的xi(i＝1,2)，使得f(xi)＝g(x0)成立，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)．由f′(x)>0，得x>1或x<0；由f′(x)<0，得0<x<1.故函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)；单调递减区间是(0,1)．(2)①当a＝0时，f(x)＝1，g(x)＝，显然不满足题意；②当a<0时，f′(x)＝6ax2－6ax＝6ax(x－1)．x变化时，f(x)，f′(x)的变化如下表：x0(0,1)1(1,2)28\nf′(x)0＋0－f(x)1极大值1－a1＋4a又因为当a<0时，g(x)＝－x＋在[0,2]上是增函数，对于任意x∈[0,2]，g(x)∈，由题意可得－＋<1－a，解得a<－1.综上，a的取值范围为(－∞，－1)．17．已知函数f(x)＝sinx(x≥0)，g(x)＝ax(x≥0)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a取(1)中最小值时，求证：g(x)－f(x)≤x3.解：(1)令h(x)＝sinx－ax(x≥0)，则h′(x)＝cosx－a.若a≥1，h′(x)＝cosx－a≤0，h(x)＝sinx－ax(x≥0)单调递减，h(x)≤h(0)＝0，则sinx≤ax(x≥0)成立；若0<a<1，存在x0∈(0，)，使得cosx0＝a，当x∈(0，x0)时，h′(x)＝cosx－a>0，h(x)＝sinx－ax(x∈(0，x0))单调递增，h(x)>h(0)＝0，不合题意：结合f(x)与g(x)的图像可知a≤0显然不合题意．综上可知，a的取值范围是[1，＋∞)．(2)证明：当a取(1)中的最小值1时，g(x)－f(x)＝x－sinx.设H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)，则H′(x)＝1－cosx－x2.令G(x)＝1－cosx－x2，则G′(x)＝sinx－x≤0(x≥0)，所以G(x)＝1－cosx－x2在[0，＋∞)上单调递减，8\n此时G(x)＝1－cosx－x2≤G(0)＝0，即H′(x)＝1－cosx－x2≤0，所以H(x)＝x－sinx－x3(x≥0)单调递减，所以H(x)＝x－sinx－x3≤H(0)＝0，即x－sinx－x3≤0(x≥0)，即x－sinx≤x3(x≥0)．所以，当a取(1)中的最小值时，g(x)－f(x)≤x3.18．设函数f(x)＝，其中a为实数．(1)当函数f(x)的定义域为R时，求f(x)的单调区间；(2)当a＝－1时，若对任意x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等式f(x)≤t2－mt－1恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)∵函数f(x)的定义域为R，∴x2＋ax＋a≠0恒成立，∴Δ＝a2－4a<0，∴0<a<4，即当0<a<4时，函数f(x)的定义域为R.f′(x)＝.∵ex>0，(x2＋ax＋a)2>0，∴f′(x)的符号与g(x)＝x[x－(2－a)]的符号相同．当0<a<2时，g(x)>0的解集为(－∞，0)∪(2－a，＋∞)，g(x)<0的解集是(0,2－a)，故此时函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2－a，＋∞)，单调递减区间是(0，2－a)；当a＝2时，g(x)≥0，即f′(x)≥0，又f′(x)仅在x＝0处等于0，故函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当2<a<4时，g(x)>0的解集为(－∞，2－a)∪(0，＋∞)，g(x)<0的解集是(2－a,0)，故此时函数f(x)的单调递增区间是(－∞，2－a)，(0，＋∞)，单调递减区间是(2－a,0)．(2)当a＝－1时，函数f(x)的定义域是∪∪，函数f(x)在区间[0,1]上有意义，根据(1)中g(x)＝x(x－3)，故当x∈8\n(0,1)时，g(x)＝x(x－3)<0.故函数f(x)在区间[0,1]上单调递减，函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为f(0)＝－1，则由题意知t2－mt－1≥－1对任意的t∈[0,1]恒成立，即t2－mt≥0对任意的t∈[0,1]恒成立，当t＝0时，m∈R，当0<t≤1时，m≤t恒成立，即m≤0.综上可知，只要m≤0，即可满足对任意x∈[0,1]，t∈[0,1]，不等式f(x)≤t2－mt－1恒成立，即m的取值范围是(－∞，0]．8
