“10＋7”提速专练卷(六)限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．已知i为虚数单位，复数z＝，则复数z在复平面上的对应点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B ∵z＝＝＝＝－1＋2i，∴复数z在复平面上的对应点的坐标是(－1,2)，相应的点位于第二象限．2．函数f(x)＝sinxsin的最小正周期为( )A．2πB.C．πD.解析：选C 注意到f(x)＝sinxsin＝sinx·＝sin2x－sinxcosx＝－sin2x＝－sin，因此函数f(x)的最小正周期是π.3．已知α、β是不同的平面，m、n是不同的直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4解析：选B 对于①，由定理“一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直”知，①正确；对于②，注意到直线m、n可能是平面α内的两条平行直线，此时不能断定α∥β，因此②不正确；对于③，满足条件的直线n可能平行于平面α，因此③不正确；对于④，由定理“平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”知，直线n平行于平面α、β，因此④正确．综上所述，其中正确命题的个数是2.6\n4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )A.B.C．[－1,6]D.解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y轴上截距的相反数，其最大值在点A(2,0)处取得，最小值在点B处取得，即最大值为6，最小值为－.5．在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝1，E，F为边BC的三等分点，则·＝( )A.B.C.D.解析：选A 依题意，不妨设＝，＝2，则有－＝(－)，即＝＋；－＝2(－)，即＝＋.所以·＝·＝(2＋)·(＋2)＝(22＋22＋5·)＝(2×22＋2×12＋5×2×1×cos60°)＝.6．设连续投掷两次骰子得到的点数分别为m和n，若向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈的概率是( )A.B.C.D.6\n解析：选C 由题意可知，若向量a与向量b的夹角θ∈，则a·b＝m－n≥0，即m≥n.当m＝1时，n＝1；当m＝2时，n＝1,2；当m＝3时，n＝1,2,3；当m＝4时，n＝1，2,3,4；当m＝5时，n＝1,2,3,4,5；当m＝6时，n＝1,2,3,4,5,6.故满足条件的事件个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＝21.易得抛掷两次骰子得到的点数组合有36个．因此，所求概率P＝＝.7．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，且矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，若四棱锥O－ABCD的体积为8，则球O的半径R＝( )A．3B.C．2D．4解析：选D 设四棱锥O－ABCD的高为h，则有×4×2×h＝8，故h＝1；又OA＝OB＝OC＝OD，因此点O在平面ABCD上的射影是底面矩形ABCD的中心，于是有R＝＝＝4.8．设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋2)2＋y2＝1和(x－2)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为( )A．4,8B．2,6C．6,8D．8,12解析：选A 如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，设椭圆的左、右焦点分别为A、B.由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝6，连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2×1＝4；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2×1＝8，即最小值和最大值分别为4,8.9．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，线段F1F2被抛物线y2＝2bx的焦点分成7∶3的两段，则此双曲线的离心率为( )A.B.C.D.6\n解析：选B 依题意得，c＋＝×2c，即b＝c(其中c是双曲线的半焦距)，a＝＝c，则＝，因此该双曲线的离心率等于.10．已知函数f(x)＝2x－1(x∈R)．规定：给定一个实数x0，赋值x1＝f(x0)，若x1≤257，则继续赋值x2＝f(x1)；若x2≤257，则继续赋值x3＝f(x2)；……以此类推．若xn－1≤257，则xn＝f(xn－1)，否则停止赋值．已知赋值k(k∈N*)次后该过程停止，则x0的取值范围是( )A．(27－k＋1,28－k＋1]B．(28－k＋1,29－k＋1]C．(29－k＋1,210－k＋1]D．(28－k,29－k]解析：选B 依题意得xn＝2xn－1－1，则xn－1＝2(xn－1－1)，于是xn－1＝2n(x0－1)，即xn＝2n(x0－1)＋1.依题意有即即由此解得28－k＋1<x0≤29－k＋1，即x0的取值范围是(28－k＋1,29－k＋1]．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝________.解析：由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案：112．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s＝________.解析：当k＝1时，1＜4，则执行循环体得：s＝1，k＝2；当k＝2时，2＜4，则执行循环体得：s＝0，k＝3；当k＝3时，3＜4，则执行循环体得：s＝－3，k＝4；当k＝4时不满足条件，则输出s＝－3.答案：－313．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．6\n解析：设该三棱锥的外接球的半径是R.依题意得，该三棱锥的形状如图所示，其中AB⊥平面BCD，AB＝2，CD＝2，BC＝BD＝2，BC⊥BD，因此可将其补形成一个棱长为2的正方体，则有2R＝2，R＝，所以该三棱锥的外接球体积为×()3＝4π.答案：4π14．若圆(x－1)2＋(y＋1)2＝1上总存在两点关于直线ax－by－2＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值为________．解析：依题意知圆心(1，－1)在直线ax－by－2＝0上，即a＋b＝2，故＋＝(a＋b)＝≥(2＋2)＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为2.答案：215．令f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)．如果对k(k∈N*)，满足f(1)·f(2)·…·f(k)为整数，则称k为“好数”，那么区间[1,2012]内所有的“好数”的和M＝________.解析：对任意正整数k，有f(1)·f(2)·…·f(k)＝log23·log34·…·logk＋1(k＋2)＝··…·＝＝log2(k＋2)．若k为“好数”，则log2(k＋2)∈Z，从而必有k＋2＝2l(l∈N*)．令1≤2l－2≤2012，解得2≤l≤10，所以区间[1,2012]内所有“好数”的和M＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝(22＋23＋…＋210)－2×9＝2026.答案：202616．设a，b为正实数．现有下列命题：①若a2－b2＝1，则a－b<1；②若－＝1，则a－b<1；③若|－|＝1，则|a－b|<1；④若|a3－b3|＝1，则|a－b|<1.其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)解析：对于①，若a－b≥1，则由a2－b2＝1得a2－b2＝(a－b)(a＋b)＝1，又a>0，b>0，于是有a＋b>a－b≥1，此时(a＋b)·(a－b)>1这与“a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1”相矛盾，因此a－b<1，①正确；对于②，取a＝2，b＝，有－＝1，此时a－b>1，因此②不正确；对于③，取a＝9，b＝4，有|－|＝1，但此时|a－b|＝5>1，因此③不正确；对于④，由|a3－b3|＝1得|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1，|a－b|(a2＋ab＋b2)>|a－b|·(a2－2ab6\n＋b2)＝|a－b|3，于是有|a－b|3<1，|a－b|<1，因此④正确．综上所述，其中的真命题有①④.答案：①④17．设实数x，y满足约束条件若目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)的最大值为13，则a＋b的最小值为________．解析：如图所示，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线abx＋y＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点(1,4)时，相应直线在y轴上的截距达到最大，此时目标函数z＝abx＋y(a>0，b>0)取得最大值，依题意有ab×1＋4＝13，即ab＝9，其中a>0，b>0，所以a＋b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝3时取等号，因此a＋b的最小值为6.答案：66
