（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备专题滚动检测（二）限时：90分钟 满分：122分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．(2022·杭州模拟)已知茎叶图列举了集合U的所有元素，设A＝{3,6,9}，则∁UA＝( )A.{5} B．{5,12}C．{12,13}D．{5,12,13}解析：选D 由茎叶图可知U＝{3,5,6,9,12,13}，所以∁UA＝{5,12,13}．2．下列有关命题的说法错误的是( )A．命题：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”B．“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题是真命题解：选C 命题“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”的逆否命题是“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”，即命题A正确；若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，则“x2－3x＋2＝0”是“x＝1”的必要不充分条件，即命题B正确；若p∧q为假命题，则命题p，q中至少有一个为假命题，即命题C不正确；“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题为“若x2＋x－6<0，则x≤2”是真命题，D正确．3．已知函数f(x)＝则不等式f(x)>f(－2)的解集为( )A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B．(－2,0]∪(1，＋∞)C．(－∞，－2)∪(4，＋∞)D．(－2,0]∪(4，＋∞)解析：选A f(－2)＝－2＋1＝2，则由f(x)>2可得或解得x>1或x<－2，则不等式f(x)>f(－2)的解集为(－∞，－2)∪(1，＋∞)．4．为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin的图像( )A．向左平移个长度单位8\nB．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位解析：选C 由y＝sin＝sin2，y＝sin＝sin2＝sin2，可得为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sin的图像向左平移个长度单位．5．(2022·太原模拟)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是( )A．2B.C．4D.解析：选B ∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0，则α·β＝，|2α＋β|＝＝＝.6．若△ABC的内角A、B、C满足6sinA＝4sinB＝3sinC，则cosB＝( )A.B.C.D.解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12k(k>0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k；由余弦定理得cosB＝＝＝.7．若函数h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是( )A．[－2，＋∞)B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]D．(－∞，2]解析：选A 据题意只需h′(x)＝2＋≥0在(1，＋∞)恒成立即可，分离变量可得k≥－2x2，而－2x2<－2，故只需k≥－2即可．8．(2022·武汉质检)已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )8\nA.B．πC．2πD．4π解析：选B 因为f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sinx＝1＋sin，所以函数f(x)＝a·b的最小正周期是π.9．(2022·唐山模拟)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x有f＝f(－x)成立，且f＝1，则实数b的值为( )A．－1B．3C．－1或3D．－3解析：选C 由f＝f(－x)可得f＝f＝f，即函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b关于直线x＝对称，则f＝2＋b或f＝b－2.又f＝1，所以b＋2＝1或b－2＝1，即b＝－1或3.10．(2022·西安模拟)如图所示，已知△ABC中，点M在线段AC上，点P在线段BM上且满足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90°，则·的值为( )A．－B．2C．－2D.解析：选A 由＝＝2，得＝＝(－)，＝，所以·＝(－)·＝·(－)＝－.二、填空题(共4个小题，每小题4分，共16分)11．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的一段图像，则函数的解析式为________．8\n解析：由图知，A＝1，＝－＝，即T＝π，即ω＝＝＝2.将点代入y＝sin(2x＋φ)得，φ＝kπ＋，k∈Z，因为0<φ<，所以φ＝，所以y＝sin.答案：y＝sin12．(2022·潍坊模拟)已知sinx＋siny＝，则sinx－cos2y的最小值为________．解析：∵sinx＋siny＝，∴sinx＝－siny．∵－1≤sinx≤1，∴－1≤－siny≤1.又∵－1≤siny≤1，∴－≤siny≤1，∴sinx－cos2y＝－siny－cos2y＝－siny－(1－sin2y)＝2－.∴当siny＝时，sinx－cos2y取得最小值，最小值为－.答案：－13．△ABC的三内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若向量p＝(a＋c，b)与q＝(b－a，c－a)是共线向量，则角C＝________.解析：据共线向量条件可得(c＋a)(c－a)－b(b－a)＝0，整理得b2＋a2－c2＝ab，利用余弦定理可得cosC＝＝，故C＝60°.答案：60°14．(2022·盐城模拟)已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosC＋ccosA＝bsinB，则角C的大小为________．解析：∵m⊥n，∴cosA－sinA＝0，∴2sin＝0，∴A＝.由余弦定理得，acosC＋ccosA＝a·＋c·＝b.又∵acosC＋ccosA＝bsinB，∴sinB＝1，∴B＝，∴C＝.8\n答案：三、解答题(共4个小题，每小题14分，共56分)15．(2022·东城模拟)已知函数f(x)＝cos2ωx－sinωx·cosωx(ω>0)的最小正周期是π.(1)求函数f(x)的单调递增区间和对称中心；(2)若A为锐角三角形ABC的内角，求f(A)的取值范围．解：(1)依题意，得f(x)＝－sin2ωx＝cos＋，∵T＝＝π，∴ω＝1.∴f(x)＝cos＋，由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤－＋kπ，k∈Z.∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.令2x＋＝＋kπ，k∈Z∴x＝＋，k∈Z.∴对称中心为，k∈Z.(2)依题意，得0<A<，则<2A＋<，故－1≤cos＜，所以－≤cos＋＜1，所以f(A)的取值范围为－，1.16．设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1(ω>0)．直线y＝与函数y＝f(x8\n)图像相邻两交点的距离为π.(1)求ω的值；(2)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若点是函数y＝f(x)图像的一个对称中心，且b＝3，求△ABC外接圆的面积．解：(1)f(x)＝sinωx·cos－cosωx·sin－2·＋1＝sinωx－cosωx＝＝sin.因为f(x)的最大值为，依题意，函数f(x)的最小正周期为π，由＝π，得ω＝2.(2)由(1)知f(x)＝sin，依题意sin＝0，即sin＝0.又0<B<π，故－<B－<π，所以B－＝0，B＝.设△ABC外接圆的半径为R.由正弦定理知＝2R，＝2R，所以R＝，故△ABC外接圆的面积为πR2＝3π.17．在△ABC中，已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且∠C＝2∠A.(1)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围；(2)若cosA＝，a＋c＝20，求b的值．解：(1)根据正弦定理有＝＝＝2cosA，在△ABC为锐角三角形中，8\n⇒<A<，所以∈(，)．(2)由(1)＝2cosA，又cosA＝，得＝，⇒再由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，即64＝b2＋144－18b，解得b＝8或b＝10，经检验b＝10.18．已知函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值与函数f(x)的单调区间；(2)设g(x)＝(x2－2x)ex，若对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2)，求a的取值范围．解：f′(x)＝ax－(2a＋1)＋＝(x>0)．(1)∵曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，∴f′(1)＝f′(3)，解得a＝.∴f′(x)＝(x>0)，令f′(x)<0⇒<x<2；令f′(x)>0⇒0<x<或x>2.∴f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)；递减区间为.(2)由已知对任意x1∈(0,2]，均存在x2∈(0,2]，使得f(x1)<g(x2)，则只需在(0,2]上有f(x)max<g(x)max.∵f′(x)＝(x>0)，则①当a≤0时，0<x≤2⇒ax－1<0,x－2≤0，故在区间(0,2]上，f′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.8\n②当0<a<时，令f′(x)＝0，则x＝2或x＝，且>2，故在区间(0,2]上，f′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.③当a＝时，f′(x)＝≥0，f(x)单调递增，所以f(x)max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋ln2.④当a>时，令f′(x)＝0，则x＝2，或x＝，且0<<2，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)max＝f＝－2－－2lna.综上所述，f(x)max＝又g′(x)＝(x2－2)ex，令g′(x)＝0，则x＝(x＝－舍去)，且0<x<时，g′(x)<0；当<x≤2时，g′(x)>0，所以g(x)在区间(0，)上递减，在区间(，2]上递增，又g(0)＝g(2)＝0，故g(x)max＝0.所以f(x)max<g(x)max⇔当a≤时，由－2a－2＋2ln2<0，解得a>ln2－1，故ln2－1<a≤.当a>时，由a>可知lna>ln>ln＝－1，2lna>－2，－2lna<2，所以，－2－2lna<0，－2－－2lna<0恒成立．综上所述，a的取值范围是(ln2－1，＋∞)．8
