（浙江专用）2022届高考数学冲刺必备第一部分专题一第四讲专题专项训练限时：50分钟 满分：78分一、选择题(共10个小题，每小题5分，共50分)1．(2022·北京高考)某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m值为( )A．5 B．7 C．9 D．11解析：选C 年平均产量＝，表示点(n，Sn)与原点连线的斜率，由图可知，(9，S9)与原点连线的斜率最大．2．若a>2，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )A．0个根B．1个根C．2个根D．3个根解析：选B 设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)＝1×＝－4a<0，所以f(x)＝0在(0,2)上恰好有1个根．3．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( )A．a<b<cB．c<b<aC．c<a<bD．b<a<c解析：选A 分别画出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x，y＝2的图像，转化为交点横坐标的比较问题．容易得出A正确．4.，，(其中e为自然常数)的大小关系是( )A.<<B.<<6\nC.<<D.<<解析：选A 由于＝，＝，＝，故可构造函数f(x)＝，于是f(4)＝，f(5)＝，f(6)＝.而f′(x)＝′＝＝，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即<<.5．在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，则平面区域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面积为( )A．2B．1C.D.解析：选B 记x＋y＝m，x－y＝n，则x＝，y＝，∴即作出可行域可知面积为1.6．已知PA、PB、PC是三棱锥P－ABC的三条侧棱，若PA2＋PB2＋PC2＝PA·PB＋PB·PC＋PC·PA，则顶点P在底面三角形ABC的射影是三角形ABC的( )A．重心B．垂心C．外心D．内心解析：选C ∵PA2＋PB2≥2PA·PB，PB2＋PC2≥2PB·PC，PC2＋PA2≥2PC·PA，∴PA2＋PB2＋PC2≥PA·PB＋PB·PC＋PC·PA，当且仅当PA＝PB＝PC时取等号．由已知得PA＝PB＝PC，所以三棱锥P－ABC的三条侧棱长相等，所以顶点P在底面三角形ABC的射影是三角形ABC的外心．7．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinx＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a的取值范围为( )A．3<a<4B．3<a≤4C．3≤a≤4D．3≤a<4解析：选C f(x)＝－sin2x＋sinx＋a＝－2＋a＋.令t＝sinx，t∈[－1,1]，所以f(x)变为g(t)＝－2＋a＋，t∈[－1,1]，6\ng(t)max＝a＋，g(t)min＝a－2,1≤f(x)≤对x∈R恒成立，即g(t)max≤且g(t)min≥1恒成立，即3≤a≤4.8．抛物线y＝x2中的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，则常数m的取值范围是( )A.B.C.D．(－1，＋∞)解析：选A 若抛物线上两点(x1，x)，(x2，x)关于直线y＝m(x－3)对称，则满足∴消去x2，得2x＋x1＋＋6m＋1＝0.∵x1∈R，∴Δ＝2－8>0，解得，m<－.即m<－时，抛物线上存在两点关于直线y＝m(x－3)对称，所以如果抛物线y＝x2中的所有弦都不能被直线y＝m(x－3)垂直平分，那么m≥－.9．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式bn等于( )A．2n－1B．2n＋1C．2n＋1－1D．2n－1＋2解析：选B 由题意得解得则bn＋1＝a1＋(bn－1)d＝1＋(bn－1)×2＝2bn－1.∵bn＋1－1＝2(bn－1)，即＝2.∴数列{bn－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．∴bn－1＝2n.∴bn＝2n＋1.10．(2022·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：6\n①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( )A．①②B．③④C．①③D．②④解析：选C 利用特殊化思想，选an＝2n判定．不妨令an＝2n.①因为f(x)＝x2，所以f(an)＝4n.显然{f(2n)}是首项为4，公比为4的等比数列．②因为f(x)＝2x，所以f(a1)＝f(2)＝22，f(a2)＝f(4)＝24，f(a3)＝f(8)＝28，所以＝＝4≠＝＝16，所以{f(an)}不是等比数列．③因为f(x)＝，所以f(an)＝＝()n.显然{f(an)}是首项为，公比为的等比数列．④因为f(x)＝ln|x|，所以f(an)＝ln2n＝nln2.显然{f(an)}是首项为ln2，公差为ln2的等差数列．二、填空题(共7个小题，每小题4分，共28分)11．(2022·浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)＝x＋1，则f＝________.解析：依题意得，f(2＋x)＝f(x)，f(－x)＝f(x)，则f＝f＝f＝＋1＝.答案：12．若x，y∈R，集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝(x，y)－＝1，a>0，b>0，当A∩B有且只有一个元素时，a、b满足的关系式是________．解析：A∩B有且只有一个元素可转化为直线－＝1与圆x2＋y2＝1相切，故圆心到直线的距离＝1.∵a>0，b>0，∴ab＝.答案：ab＝13．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么f(2)，f(1)，f(4)的大小关系是________．解析：由f(2＋t)＝f(2－t)知f(x)的对称轴为x＝2，∴f(x)在[2，＋∞)上为单调增函数，6\n且f(1)＝f(2×2－1)＝f(3)．又∵f(2)<f(3)<f(4)，∴f(2)<f(1)<f(4)．答案：f(2)<f(1)<f(4)14．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于________．解析：因为点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，所以点P与A、B、C共面，即点P在平面ABC内，所以||的最小值等于点O到平面ABC的距离也就是正四面体的高，可以求得||的最小值为.答案：15．设AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F1为左焦点，则△ABF1的面积的最大值是________．解析：根据椭圆的对称性，把右焦点考虑进去，进行等积变换．取右焦点F2，连接AF2，BF2，如图所示，则四边形AF1BF2为平行四边形，△ABF1和△AF1F2的面积均为▱AF1BF2的面积的一半，所以问题化归为求△AF1F2的面积的最大值，又|F1F2|＝6，问题又化归为求|yA|的最大值，而|yA|max＝4，至此知S△ABF1的最大值为12.答案：1216．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2022，－＝2，则S2012的值为________．解析：由已知－＝2的结构，可联想到等差数列{an}的前n项和Sn的变式，＝a1＋(n－1)，故由－＝2，得＝1，＝－2012＋(2012－1)×1＝－1，所以S2012＝－2012.答案：－201217．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为________．解析：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4≥10，S5≤15，∴即6\n又a4＝a1＋3d，因此，求a4的最值可转化为在线性约束条件限制之下的线性目标函数的最值问题．作出可行域如图所示，易得经过点A(1,1)时有最大值4.答案：46
