第03节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.2022浙江文15理13；2022浙江文12理13；201浙江文14理142022浙江文4理32022浙江4线性目标函数、距离型、斜率型的目标函数最值问题.备考重点：1.线性规划基本问题;2.含参数的目标函数以及与其他知识点的结合.【知识清单】1.二元一次不等式（组）表示的平面区域在平面直角坐标系中，直线将平面分成两部分，平面内的点分为三类：①直线上的点（x，y）的坐标满足：；②直线一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：；③直线另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足：.即二元一次不等式或在平面直角坐标系中表示直线的某一侧所有点组成的平面区域，直线叫做这两个区域的边界，（虚线表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）.由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.对点练习在平面上，过点作直线的垂线所得的垂足称为点在直线上的投影.由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则（）.26\nA.B.C.D.【答案】C2.目标函数的最值名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题对点练习【2022浙江4】若，满足约束条件，则的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，D．[4，26\n【答案】D【考点深度剖析】从考纲和考题中看，该部分内容难度不大，重点考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题——线性规划问题，命题形式以选择、填空为主，但也有解答题以应用题的形式出现．【重点难点突破】考点1二元一次不等式(组)表示平面区域【1-1】【2022浙江嘉兴第一中学模拟】若不等式组x-y>03x+y<3x+y>a表示一个三角形内部的区域，则实数a的取值范围是（）A.-∞,34B.34,+∞C.-∞,32D.32,+∞【答案】C【解析】26\nx+y>a表示直线的右上方，若构成三角形，点A在x+y=a的右上方即可。又A34，34，所以34+34>a，即a<32.故选C【1-2】已知点在由不等式确定的平面区域内，则点所在的平面区域面积是【答案】4是有即，这个不等式组表示的平面区域为如图所示的内部（含边界），其面积为4，即点所在平面区域面积为4，26\n【1-3】【2022陕西西安西北工业大学附属中学模拟】若平面区域，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这条平行直线间的距离的最小值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】作出平面区域如图所示：26\n两条平行线分别为y=x−1，y=x+1，即x−y−1=0，x−y+1=0.∴平行线间的距离为，本题选择D选项.【领悟技法】由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.1.判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0,y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.2.画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域.【触类旁通】【变式一】【2022陕西西安西北工业大学附属中学模拟】设关于，的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，则26\n的取值范围是__________．【答案】【解析】由，得，只需点在圆内或者满足，即或，可得或，，故答案为.【变式二】【2022江西4月质检】不等式组表示的平面区域的面积是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】26\n作出不等式组表示的区域是两直角边分别为的直角三角形，面积,故选A.考点2求目标函数的最值【2-1】【2022届浙江省高三上模拟】若整数，满足不等式组，则的最大值是（）A.-10B.-6C.0D.3【答案】D.，故选D.26\n【2-2】【2022届浙江省湖州、衢州、丽水三市高三4月联考】已知实数满足则的最大值是()A.-2B.-1C.1D.2【答案】C26\n【2-3】【2022河南洛阳联考】已知x，y满足条件x≥0,y≥x,3x+4y≤12,则x+2y+3x+1的取值范围是__________．【答案】3,9【解析】作出可行域：26\n【2-4】【2022广西南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考】设满足约束条件,则的最大值为________．【答案】【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影所示，表示的几何意义是点到距离，由图可知，点到原点的距离最远，，得，【2-5】已知为坐标原点，，，，满足，则的最大值等于.26\n【答案】当目标函数平移到C点取得最大值，解得,26\n,代入目标函数，的最大值为.【领悟技法】常见目标函数类型：【触类旁通】【变式一】【2022届浙江嘉兴高三上测试】若满足，则的最大值为．【答案】26\n【变式二】【2022届浙江省高三上模拟】已知函数在区间内有两个零点，是的取值范围是________.【答案】.26\n考点3线性规划的实际应用【3-1】某高科技企业生产产品和产品需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时；生产一件产品需要甲材料，乙材料，用个工时.生产一件产品的利润为元，生产一件产品的利润为元，该企业现有甲材料，乙材料，则在不超过个工时的条件下，生产产品，产品的利润之和的最大值为元.【答案】【解析】设生产产品A，B的件数分别为，获得利润为元，26\n目标函数为，画出满足不等式组的可行域，如图所示.联立，得，即.移动目标函数，可得到当其经过点时，有最大值.故填.【3-2】【2022重庆第一中学模拟】某玩具生产厂计划每天生产卡车模型、赛车模型、小汽车模型这三种玩具共100个，生产一个卡车模型需5分钟，生产一个赛车需7分钟，生产一个小汽车需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卡车模型可获利8元，生产一个赛车模型可获利润9元，生产一个小汽车模型可获利润6元，该公司合理分配生产任务使每天的利润最大，则最大利润是__________元．【答案】85026\n【解析】约束条件为目标函数为W=2x+3y+600，作出可行域．初始直线l0：2x+3y=0，平移初始直线经过点A时，W有最大值．最优解为A（50，50），所以Wmax=850（元）．【领悟技法】(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号．(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等．(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．【触类旁通】【变式一】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，26\nB两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额（吨）（吨）【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润由题意可列，其表示如图阴影部分区域：当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．【变式二】某运输公司有7辆载重量为6t的A型卡车与4辆载重量为10t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？26\n【答案】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：，即作直线，即，作直线的平行线：当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，可得A点坐标为.∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，即过时，，但此时，∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求.∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，即zmin=160×5+2×252=1304（元）考点4线性规划中含参数问题【4-1】【2022届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】已知变量满足约束条件26\n，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D时，取得最大值，即，所以，故选D．【4-2】【2022湖北浠水实验高级中模拟】设x，y满足不等式组x+y-6≤02x-y-1≤3x-y-2≥0，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为__________．【答案】[-2,1]【解析】由z=ax+y得y=-ax+z,直线y=-ax+z是斜率为−a,y轴上的截距为z26\n的直线,若a=0，则y=z，此时满足条件，若a>0，则目标函数斜率k=-a<0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足-a⩾kBC=-1，即0<a⩽1，若a<0，则目标函数斜率k=-a>0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足-a⩽kAC=2，即-2⩽a<0，综上-2⩽a⩽1，故答案为：[−2,1].【领悟技法】确定线性最优解的思维过程：线性目标函数（A,B不全为0）中，当时，26\n，这样线性目标函数可看成斜率为，且随变化的一组平行线，则把求的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当B>0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B<0时，的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.对于求整点最优解，如果作图非常准确可用平移求解法，也可以取出目标函数可能取得最值的可行域内的所有整点，依次代入目标函数验证，从而选出最优解，最优解一般在可行域的定点处取得，若要求最优整解，则必须满足x，y均为整数，一般在不是整解的最优解的附近找出所有可能取得最值的整点，然后将整点分别代入目标函数验证选出最优整解.对于非线性最优解问题，应理解其几何意义，结合平面几何知识处理.【触类旁通】【变式一】【2022河北邢台第二中学模拟】若满足约束条件，且的最大值为4，则实数的值为__________.【答案】26\n然后作出直线2x-y=4，由得A（2，0），此时A也在直线kx-y+3=0上，则2k=-3，即k=故答案为：【变式二】已知点P(x，y)满足目标函数z＝x＋ay(a<0)的最大值和最小值之和为0，则a的值为( )A．－B．－2C．－1D．－【答案】B26\n【易错试题常警惕】易错典例：已知实数x、y满足的最小值.易错分析：对于目标函数赋予的几何意义没理解．(-2,1)1Oxy2x+y=126\n点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得，故温馨提示：对非线性目标函数的最优解问题，应深刻理解其包含的几何意义，结合平面几何知识处理．【学科素养提升篇】------数形结合思想【典例】若实数x，y满足条件，则z＝3x－4y的最大值是( )A．－15 B．－3 C．－1 D．1【答案】C26\n【点评】解答线性规划问题，一要注意作图规范正确；二要注意目标函数何时取到最值；三要注意最优解是否要求为整数．将目标函数斜率和可行域边界斜率比较以及何时向上移，何时向下移，这都是解题关键26
