【大高考】（三年模拟一年创新）2022届高考数学复习第十三章坐标系与参数方程文（全国通用）A组 专项基础测试三年模拟精选一、选择题1．(2022·北京东城区一模)已知点M的极坐标为，那么将点M的极坐标化成直角坐标为( )A.B.C.D.解析 ∵x＝rcosθ＝5·cos＝－，y＝rsinθ＝，∴M的直角坐标为.答案 D2．(2022·北京石景山区一模)在极坐标系中，圆ρ＝2被直线ρsinθ＝1，截得的弦长为( )A.B．2C．2D．3解析 圆ρ＝2和直线ρsinθ＝1的直角坐标方程为x2＋y2＝4和y＝1.∵圆心(0，0)到y＝1的距离为1，∴圆x2＋y2＝4被y＝1截得的弦长为：2＝2.答案 C二、填空题3．(2022·黄冈中学、孝感模拟)在极坐标系中，曲线C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a的值为________．解析 将极坐标方程化为普通方程，得C1：x＋y－1＝0，C2：x2＋y2＝a2.在C1中，令y＝0，得x＝，再将代入C2，得a＝.答案 5\n4．(2022·揭阳一模)已知曲线C1：ρ＝2和曲线C2：ρcos＝，则C1上到C2的距离等于的点的个数为________．解析 将方程ρ＝2与ρcos＝化为直角坐标方程得x2＋y2＝(2)2与x－y－2＝0，知C1为以坐标原点为圆心，半径为2的圆，C2为直线，因圆心到直线x－y－2＝0的距离为，故满足条件的点的个数为3.答案 35．(2022·临川二中模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1参数方程为(α为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，则曲线C1与C2的交点个数为________．解析 ∵曲线C1参数方程为∴x2＋(y－1)2＝1，是以(0，1)为圆心，1为半径的圆．∵曲线C2的方程为ρ(cosθ－sinθ)＋1＝0，∴x－y＋1＝0.在坐标系中画出圆和直线的图形，观察可知有2个交点．答案 2一年创新演练6．在极坐标系中，ρ＝4sinθ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sinθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0，2)．又易知点A的直角坐标系为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.答案 27．在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．解析 依题意知，点M的直角坐标是(2，2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.答案 2B组 专项提升测试5\n三年模拟精选一、填空题8．(2022·广州市质检)在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数)和(t为参数)，以原点为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲线C1与C2的交点极坐标为________．解析 曲线C1和直线C2的直角坐标方程分别为x2＋y2＝2和x＋y－2＝0，其交点坐标为(1，1)，对应极坐标为.答案 9．(2022·合肥市质检)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立坐标系，两种坐标系相同的长度单位，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，若C1与C2有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．解析 C1和C2的直角坐标方程为y＝a(x＋2)和(x－2)2＋y2＝4，C1和C2有两个不同交点⇔圆心(2，0)到y＝a(x＋2)的距离d＜2，即d＝＜2，d∈.答案 10．(2022·陕西西安八校联考)已知点P(x，y)在曲线(θ为参数，θ∈R)上，则的取值范围是________．解析 消去参数θ得曲线的标准方程为(x＋2)2＋y2＝1，圆心为(－2，0)，半径为1.设＝k，则直线y＝kx，即kx－y＝0，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d＝＝1，即|2k|＝，平方得4k2＝k2＋1，k2＝，解得k＝±，5\n由图形知k的取值范围是－≤k≤，即的取值范围是.答案 二、解答题11．(2022·厦门二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是(θ为参数)．(1)将C1的方程化为普通方程；(2)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设曲线C2的极坐标方程是θ＝，求曲线C1与C2的交点的极坐标．解 (1)C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.(2)设C1的圆心为A，∵原点O在圆上，设C1与C2相交于O，B，取线段OB的中点C，∵直线OB倾斜角为，OA＝2，∴OC＝1，从而OB＝2，∴O，B的极坐标分别为O(0，0)，B.12．(2022·江苏泰州模拟)极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的参数方程是，(t为参数，0≤α<π)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－与曲线C1交于极点O外的三点A，B，C.(1)求证：|OB|＋|OC|＝|OA|；(2)当φ＝时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．(1)证明 依题意|OA|＝4cosφ，|OB|＝4cos，|OC|＝4cos，则|OB|＋|OC|5\n＝4cos＋4cos＝2(cosφ－sinφ)＋2(cosφ＋sinφ)＝4cosφ＝|OA|.(2)解 当φ＝时，B，C两点的极坐标分别为.化为直角坐标为B(1，)，C(3，－)．C2是经过点(m，0)，倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y＝－(x－2)，∴m＝2，α＝.一年创新演练13．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．(1)写出曲线C和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．解 (1)y2＝2ax，y＝x－2.(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入y2＝2ax，得到t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1·t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1·t2＝t1·t2，解得a＝1或a＝－4(舍去)．5
