【高考领航】2022高考数学总复习2-6对数函数练习苏教版【A组】一、填空题1.(2022·高考北京卷)如果logx<logy<0,那么x,y的大小关系为________.解析:∵logx<logy<log1∴x>y>1答案:x>y2.(2022·徐州月考)函数f(x)=log(x2-2x-3)的单调递增区间是________.解析:设t=x2-2x-3,则y=logt.由t>0解得x<-1或x>3,故函数的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞).又t=x2-2x-3=(x-1)2-4在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.而函数y=logt为关于t的减函数,所以,函数f(x)的单调增区间为(-∞,-1).答案:(-∞,-1)3.(2022·高考天津卷)已知a=log23.6,b=log43.2,c=log43.6,则a,b,c的大小关系是________.解析:a=log23.6=log43.62=log412.96,∴y=log4x(x>0)是单调增函数,而3.2<3.6<12.96,∴a>c>b.答案:a>c>b4.若函数f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a的值为________.解析:∵0<a<1,∴函数f(x)=logax在(0,+∞)上减函数,∴在区间[a,2a]上,f(x)min=loga(2a),f(x)max=logaa=1,∴loga(2a)=,∴a=.5\n答案:5.(2022·高考江苏卷)函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.解析:由题意知,函数f(x)=log5(2x+1)的定义域为,所以该函数的单调增区间为.答案:6.函数y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是________.解析:当x-1=1即x=2时,y=loga1+2=2.答案:(2,2)7.已知f(x)=loga(ax2-x)(a>0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数,实数a的取值范围为________.解析:设t=ax2-x=a2-,若f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上是增函数,需或即或∴a>1.所以实数a的取值范围为(1,+∞).答案:(1,+∞)二、解答题8.设函数f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212.(1)求a,b的值;(2)当x∈[1,2]时,求f(x)的最大值.解:(1)由已知,得∴解得a=4,b=2.(2)f(x)=log2(4x-2x)=log2,∵u(x)=2-在[1,2]上是增函数,∴u(x)max=2-=12.∴f(x)的最大值为log212=2+log23.5\n9.若函数y=(logax)2-2logax+b(0<a<1)的定义域为[2,4],值域为,求a,b的值.解:令t=logax,x∈[2,4],又知0<a<1,∴loga4≤t≤loga2<0,∴y=t2-2t+b.由二次函数图象知y=t2-2t+b在[loga4,loga2]上是减函数,∴⇔.解得loga2=-或loga2=(舍去).即a=,b=5.【B组】一、填空题1.(2022·镇江月考)设函数f(x)=log2x的反函数为y=g(x),若g=,则a=________.解析:因为对数函数y=log2x与指数函数y=2x互为反函数,所以g(x)=2x.则有g=2=,即=-2,解得a=.答案:2.(2022·南京月考)若log2a<0,则a的取值范围是________.解析:当2a>1时,∵log2a<0=log2a1,∴<1.∵1+a>0,∴1+a2<1+a,∴a2-a<0,∴0<a<1,∴<a<1.当0<2a<1时,∵log2a<0=log2a1,∴>1.∵1+a>0,∴1+a2>1+a,∴a2-a>0,∴a<0或a>1,此时不合题意.综上所述,a∈.答案:3.(2022·高考安徽卷)(log29)·(log34)=________.解析:∵log29=2log23,log34=2log32,∴原式=4log23×log32=4.答案:44.(2022·高考北京卷)已知函数f(x)=lgx.若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=________.5\n解析:∵f(x)=lgx,f(ab)=1,∴lg(ab)=1,∴f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lga+2lgb=2lg(ab)=2.答案:25.(2022·河北唐山统考)已知2a=5b=,则+=________.解析:∵2a=5b=,∴a=log2,b=log5,利用换底公式可得:+=log2+log5=log10=2.答案:26.(2022·湖北黄石模拟)设a>0且a≠1,函数f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为________.解析:∵函数y=lg(x2-2x+3)有最小值,f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,∴0<a<1.∴由loga(x2-5x+7)>0,得0<x2-5x+7<1,解得2<x<3.∴不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为(2,3).答案:(2,3)7.(2022·连云港模拟)定义在R上的奇函数f(x),当x∈(0,+∞)时,f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是________.解析:由已知条件可知,当x∈(-∞,0)时,f(x)=-log2(-x).当x∈(0,+∞)时,f(x)<-1,即为log2x<-1,解得0<x<;当x∈(-∞,0)时,f(x)<-1,即为-log2(-x)<-1,解得x<-2.所以f(x)<-1的解集为(-∞,-2)∪.答案:(-∞,-2)∪二、解答题8.(2022·上海徐汇二模)已知函数f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.(1)当x∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x∈[1,4],不等式f(x2)·f()>k·g(x)恒成立,求实数k的取值范围.5\n解:(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2,因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x2)·f()>k·g(x)得(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x,令t=log2x,因为x∈[1,4],所以t=log2x∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立,①当t=0时,k∈R;②当t∈(0,2]时,k<恒成立,即k<4t+-15,因为4t+≥12,当且仅当4t=,即t=时取等号,所以4t+-15的最小值为-3,综上,k∈(-∞,-3).9.(2022·广东梅州月考)已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式;(2)当x∈[0,1)时总有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范围.解:(1)设P(x,y)为g(x)图象上任意一点,则Q(-x,-y)是点P关于原点的对称点,∵Q(-x,-y)在f(x)的图象上,∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).(2)f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.设F(x)=loga,x∈[0,1),由题意知,只要F(x)min≥m即可.∵F(x)在[0,1)上是增函数,∴F(x)min=F(0)=0.故m≤0即为所求.5