课时作业(十八)1．独立重复试验应满足的条件：①每次试验之间是相互独立的；②每次试验只有发生与不发生两种结果之一；③每次试验发生的机会是均等的；④各次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①②③D．①②④答案 C2．已知随机变量ξ～B(6，)，则P(ξ≥2)＝( )A.B.C.D.答案 C3．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.B.C.D.答案 B解析 每种颜色的球被抽取的概率为，从而抽取三次，球的颜色全相同的概率为C()3＝3×＝.4．某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次试验中，发生k次的概率为( )A．1－pkB．(1－p)k·pn－kC．(1－p)kD．C(1－p)k·pn－k答案 D5．若X～B(5,0.1)，则P(X≤2)等于( )A．0.665B．0.008568\nC．0.91854D．0.99144答案 D6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )A．()5B．C()5C．C()3D．CC()5答案 B解析 由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，∴P(ξ＝2)＝C()2()3.7．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)的值为( )A．C()2×B．C()2×C．()2×D．()2×答案 C解析 当ξ＝3表示前2次测出的都是次品，第3次为正品，则P(ξ＝3)＝()2×.8．某种植物的种子发芽率是0.7,4颗种子中恰有3颗发芽的概率是________．答案 0.4116解析 C×0.73×(1－0.7)＝4×0.73×0.3＝1.2×0.73＝0.4116.9．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为________(用数字作答)．答案 0.9477解析 至少3人被治愈的概率为C(0.9)3·0.1＋(0.9)4＝0.9477.10．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.8\n答案 解析 任何一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B(5，)，即有P(ξ＝k)＝C()k×()5－k，k＝0,1,2,3,4,5.∴P(ξ＝4)＝C()4×()1＝.11．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案 解析 记Ar(r＝0,1,2，…，6)为“r个人同时上网”这个事件，则其概率为P(Ar)＝C0.5r(1－0.5)6－r＝C0.56＝C，“一天内至少有3人同时上网”即为事件A3∪A4∪A5∪A6，因为A3，A4，A5，A6为彼此互斥事件，所以可应用概率加法公式，得“一天内至少有3人同时上网”的概率为P＝P(A3∪A4∪A5∪A6)＝P(A3)＋P(A4)＋P(A5)＋P(A6)＝(C＋C＋C＋C)＝×(20＋15＋6＋1)＝.12．2022年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析 (1)记“该考生正确做出第i道题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(Ai)＝，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P(A1A2)＝P(A1)·P(A2)·P()＝××＝.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故8\nP(B)＝C×()3×＋C×()4＝.13．9粒种子分种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种的费用，写出ξ的分布列．解析 补种费用ξ的分布列为ξ0102030P0.6700.2870.0410.002点评 每个坑内3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝，所以每个坑不需要补种的概率为p＝1－＝.利用3次独立重复试验的公式求解即可．►重点班选做题14．一批玉米种子，其发芽率是0.8.问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？(lg2＝0.3010)解析 记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2.设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.因为每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则P()＝C·0.80·0.2n＝0.2n.所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n.由题意有1－0.2n>98%，所以0.2n<0.02，两边取对数得nlg0.2<lg0.02.即n(lg2－1)<lg2－2.所以n>≈2.43，且n∈N，所以n≥3.故每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%.15．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种概率；(3)用ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列．8\n解析 记A表示事件：进入商场的1位顾客购买甲种商品，B表示事件：进入商场的1位顾客购买乙种商品，C表示事件：进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种，D表示事件：进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种．(1)C＝A·＋·B.P(C)＝P(A·＋·B)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)·P()＋P()·P(B)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.(2)＝·，P()＝P(·)＝P()·P()＝0.5×0.4＝0.2，P(D)＝1－P()＝0.8.(3)ξ～B(3,0.8)，故ξ的分布列为P(ξ＝0)＝0.23＝0.008，P(ξ＝1)＝C×0.8×0.22＝0.096，P(ξ＝2)＝C×0.82×0.2＝0.384，P(ξ＝3)＝0.83＝0.512.ξ的分布列为ξ0123P0.0080.0960.3840.5121．一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测．方法一：在10箱中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚．国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为p1和p2.则( )A．p1＝p2B．p1<p2C．p1>p2D．以上三种情况都有可能答案 B解析 ∵p1＝1－()10，p2＝1－()5＝1－()5，∴p1<p2.2．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{an}：an＝如果Sn为数列{an}的前n项和，那么S7＝3的概率为( )A．C×()2×()5B．C×()2×()5C．C×()2×()5D．C×()2×()58\n答案 C3．某厂大量生产某种小零件，经抽样检验知道其次品率是1%，现把这种零件每6件装成一盒，那么每盒中恰好含一件次品的概率是( )A．()6B．0.01C.(1－)5D．C()2(1－)4答案 C4．在4次独立重复试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为( )A.B.C.D．都不对答案 A5．抛掷三个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，则在54次试验中成功次数X～( )A．B(54，)B．B(52，)C．B(54，)D．B(54，)答案 C6．已知随机变量ξ服从二项分布ξ～B(6，)，则P(ξ＝2)＝( )A.B.C.D.答案 D7．有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学能通过测试的概率为( )A．(1－p)nB．1－pnC．pnD．1－(1－p)n答案 D8．一个学生通过某种英语听力测试的概率是，他连续测试n8\n次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n的最小值为( )A．3B．4C．5D．6答案 B9．假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可以成功飞行；2引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行，要使4引擎飞机比2引擎飞机更安全，则p的取值范围是( )A．(，1)B．(，1)C．(0，)D．(0，)答案 B10．某处有水龙头5个，调查表明每个水龙头被打开的可能性是，随机变量X表示同时被打开的水龙头的个数，则P(X＝3)＝________.答案 11．一个袋中有5个白球，3个红球，现从袋中每次取出1个球，取出后记下球的颜色然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则P(ξ＝12)＝________.(写出表达式不必算出最后结果)答案 C()9()2·12．某篮球运动员在三分线投球的命中率是，他投球10次，恰好投进了3球的概率为________．(用数字作答)答案 13．某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第三次击中目标的概率为0.9；②他恰好击中目标3次的概率为0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率为1－0.14.其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)答案 ①③14．A，B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，若某人已赢得所有卡片，则游戏终止．求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率．8\n解析 P＝()5×2＋2×C()5()2＝＋2×5×()7＝.8
