课时作业(十二)1．设(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a8x8，则a0，a1，…，a8中奇数的个数为( )A．2 B．3C．4D．5答案 A解析 由于(1＋x)8的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，因此ar＝C(其中r＝0,1,2，…，8)，由此可知，其中a0、a8是奇数，其余的系数均为偶数，因此选A.2．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x)n展开式的各项系数和为( )A．2n＋1B．2n＋1＋1C．2n＋1－1D．2n＋1－2答案 C解析 令x＝1得各项系数和为1＋2＋22＋23＋…＋2n＝＝2n＋1－1.3．在(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大项是( )A．第＋1项 B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项答案 C4．若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A．10B．20C．30D．120答案 B5．关于(a－b)10的说法，错误的是( )A．展开式中的二项式系数之和为1024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小答案 C解析 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．6．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )7\nA．第6项B．第5项C．第5、6项D．第6、7项答案 A解析 C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．7．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3答案 C8．若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b＝( )A．45B．55C．70D．80答案 C解析 (1＋)5＝C＋C·＋C()2＋C()3＋C()4＋C()5＝41＋29＝a＋b，∴a＋b＝41＋29＝70.故选C.9．(a＋)n的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T8＝________.答案 解析 C＋C＋C＋…＝2n－1，∴2n－1＝512＝29，n＝10，∴T8＝Ca3()7＝.10．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________．答案 1 64解析 令展开式左、右两边x＝1，得各项系数和为1.各二项式系数之和为：C＋C＋C＋…＋C＝26＝64.11．要使组合数C有最大值，则m的值应是________________．答案 13或14解析 因C表示(a＋b)27展开式中二项式系数，而二项式系数最大项在中间，所以m＝13或14.12．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于________．答案 －256解析 令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝0；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a5＝25，∴a0＋a2＋a4＝24，a1＋a3＋a5＝－24，∴(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－28＝－256.7\n13．(x2＋x－1)9(2x＋1)4的展开式中所有x的奇次项的系数之和等于________，所有x的偶次项的系数之和等于________．答案 41 40解析 设(x2＋x－1)9(2x＋1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a22x22.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a22＝81；令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a21＋a22＝－1，∴所有x的奇次项的系数之和等于[81－(－1)]＝41，所有x的偶次项的系数之和等于[81＋(－1)]＝40.14．证明：C＋2C＋3C＋…＋nC＝n·2n－1.证明 方法1：∵k·C＝k·＝n·＝nC，∴原式＝nC＋nC＋…＋nC＝n(C＋C＋…＋C)＝n·2n－1.命题得证．方法2：(倒序相加)令S＝C＋2C＋3C＋…＋nC，∴S＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋C.∵C＝C，且C＝C，两等式相加，得2S＝nC＋nC＋nC＋…＋nC＋nC＝n(C＋C＋C＋…＋C)＝n·2n.∴S＝n·2n－1，命题成立．►重点班选做题15．若(1－2x)2013＝a0＋a1x＋…＋a2013x2013(x∈R)，则＋＋…＋的值为( )A．2B．0C．－1D．－2答案 C解析 ar＝C(－2)r，r＝0,1,2，…，2013，∴＋＋…＋＝－C＋C－C＋…－C.又C－C＋C－…－C＝0.故原式＝－1.16．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n的值为( )7\nA．0 B．ABC．A2－B2D．A2＋B2答案 C解析 (1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，所以(1－x2)n＝A2－B2.1．1＋(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n的展开式的各项系数之和为( )A．2n－1B．2n－1C．2n＋1－1D．2n答案 C2．若n为正奇数，则7n＋C·7n－1＋C·7n－2＋…＋C·7被9除所得的余数是( )A．0B．2C．7D．8答案 C3．试判断7777－1能否被19整除？答案 能1．(2022·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种C．9种D．8种答案 A解析 将4名学生均分为2个小组共有＝3种方法，将2个小组的同学分给两名教师带有A＝2种分法，最后将2个小组的人员分配到甲、乙两地有A＝2种方法，故不同的安排方案共有3×2×2＝12种．2．(2022·山东)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( )A．232B．252C．472D．4847\n答案 C解析 完成这件事可分为两类：第一类3张卡片颜色各不相同共有CCCC＝256种；第二类3张卡片有两张同色且不是红色卡片共有CCCC＝216种，由分类加法计数原理共有472种，故选C项．3．(2022·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家．若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A．3×3!B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!答案 C解析 完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有A种排法；第二步排列每个家庭的三个成员，共有AAA种排法，由乘法原理可得不同的坐法种数有AAAA，故选C项．4．(2022·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种B．15种C．20种D．30种答案 C解析 甲获胜有三种情况，第一种共打三局，甲全胜，此时，有一种情形；第二种共打四局，甲第四局获胜且前三局中只有两局获胜，此时，共有C＝3种情况；第三种共打五局，甲第五局获胜且前四局只有两局获胜，此时，共有C＝6种情况，所以甲赢共有10种情况，同理乙赢也有10种情形，故选C项．5．(2022·大纲全国)6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )A．240种B．360种C．480种D．720种答案 C解析 由题意可采用分步乘法计数原理，甲的排法种数为A，剩余5人进行全排列：A，故总的情况有：A·A＝480种．故选C项．6．(2022·大纲全国)4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有( )A．12种B．24种C．30种D．36种答案 B解析 先从4人中选2人选修甲课程，有C7\n种方法，剩余2人再选修剩下的2门课程，有22种方法，则共有C×22＝24种方法．7．(2022·安徽)(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是( )A．－3B．－2C．2D．3答案 D解析 (－1)5的通项为Tr＋1＝C()5－r(－1)r＝(－1)rC.要使(x2＋2)(－1)5的展开式为常数，须令10－2r＝2或0，此时r＝4或5.故(x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3.8．(2022·湖北)设a∈Z，且0≤a<13，若512012＋a能被13整除，则a＝( )A．0B．1C．11D．12答案 D解析 ∵52能被13整除，∴512012可化为(52－1)2012，其二项式系数为Tr＋1＝C522012－r·(－1)r.故(52－1)2012被13除余数为C·(－1)2012＝1，则当a＝12时，512012＋12被13整除．9．(2022·重庆)(＋)8的展开式中常数项为( )A.B.C.D．105答案 B解析 二项式(＋)8的通项为Tr＋1＝C()8－r·(2)－r＝2－rCx，令8－2r＝0，得r＝4，所以二项展开式的常数项为T5＝2－4C＝，故选B项．10．(2022·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )A．80B．40C．20D．10答案 B解析 由二项式定理可知(1＋2x)5的展开式的第r＋1项为Tr＋1＝C15－r(2x)r＝C·2r·xr，令r＝2，得T3＝C·22·x2＝40x2.∴x2的系数等于40.7\n11．(2022·广东)(x2＋)6的展开式中x3的系数为________．(用数字作答)答案 20解析 Tr＋1＝C·(x2)6－r·()r＝C·x12－3r，∴要求展开式中x3的系数，即12－3r＝3，∴r＝3，即T4＝C·x3＝20x3.∴x3的系数为20.12．(2022·大纲全国)若(x＋)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为______．答案 56解析 ∵C＝C，∴n＝8.Tr＋1＝Cx8－r()r＝Cx8－2r.令8－2r＝－2，解得r＝5.∴的系数为C＝56.7
