课时作业(十九)1．(2022·湖北卷改编)设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝( )X0123P0.1ab0.1A.0.2 B．0.1C．－0.2D．－0.4答案 C解析 由分布列性质，得0.1＋a＋b＋0.1＝1.①由期望公式可得0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，即a＋2b＝1.3.②由①，②可得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝0.3－0.5＝－0.2.2．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( )A.B.C.D．3.5答案 D3．若X～B(4，)，则E(X)的值为( )A．4B．2C．1D.答案 B解析 ∵X～B(4，)，∴E(X)＝4×＝2.4．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝( )A．45B．40C．30D．15答案 A5．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为( )A．无法求B．0C．E(X)D．2E(X)7\n答案 B6．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E(ξ)的值为( )A．0.765B．1.75C．1.765D．0.22答案 B解析 当ξ＝0时，P(ξ＝0)＝(1－0.9)×(1－0.85)＝0.015；当ξ＝1时，P(ξ＝1)＝0.9×(1－0.85)＋0.1×0.85＝0.135＋0.085＝0.22.当ξ＝2时，P(ξ＝2)＝0.9×0.85＝0.765.∴E(ξ)＝0×0.015＋1×0.22＋2×0.765＝1.75.7．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.B.C.D.答案 B解析 由题意知ξ～B(2，)，∴E(ξ)＝2×＝.8．(2022·新课标全国卷)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )A．100B．200C．300D．400答案 B解析 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000,0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.9．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝C·()k·()300－k(k＝0,1,2，…，300)，则E(ξ)＝________.答案 100解析 由P(ξ＝k)＝C()k()300－k，可知ξ～B(300，)．∴E(ξ)＝300×＝100.7\n10．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖，有一选手选对任一题的概率是0.8，则该选手可望能拿到________等奖．答案 二解析 选对题的个数X～B(30,0.8)，所以E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可望能拿到二等奖．11．若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲单独解出该题的概率为，乙单独解出该题的概率为，设解出该题的人数为X，求E(X)．解析 记“甲解出该题”为事件A，“乙解出该题”为事件B，X可能取值为0,1,2.P(X＝0)＝P()P()＝(1－)(1－)＝，P(X＝1)＝P(A·)＋P(·B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×(1－)＋(1－)×＝，P(X＝2)＝P(A)·P(B)＝×＝.所以X的分布列为X012P故E(X)＝0×＋1×＋2×＝.12．英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望．解析 设甲和乙不会的题得分分别为随机变量ξ和η.由题意知ξ～B(80,0.25)，η～B(20,0.25)，故E(ξ)＝80×0.25＝20，E(η)＝20×0.25＝5.于是E(ξ＋20)＝E(ξ)＋20＝40，E(η＋80)＝E(η)＋80＝85.故甲、乙在这次测验中得分的期望分别为40分和85分．点评 会判断随机变量是否服从两点分布、二项分布．若服从，则直接求均值即可，不必再列出分布列．7\n13．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为CC，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3.所以随机变量X的分布列是X0123PX的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3，而P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝，P(A3)＝P(X＝3)＝，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.14．某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各个路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min.(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．解析 (1)设这名学生路上在第三个路口时首次遇到红灯为事件A.因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，所以事件A的概率为P(A)＝(1－)×(1－)×＝.(2)由题意可得，ξ可能取的值为0,2,4,6,8(单位：min)，事件“ξ＝2k7\n”等价于事件“该学生在上学路上遇到k次红灯”(k＝0,1,2,3,4)，所以P(ξ＝2k)＝C()k()4－k(k＝0,1,2,3,4)，即ξ的分布列是ξ02468P所以ξ的期望是E(ξ)＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝.►重点班选做题15．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：x123P(ξ＝x)？！？请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.答案 2解析 设“？”处的数值为x，则“！”处的数值为1－2x，则E(ξ)＝1·x＋2×(1－2x)＋3x＝x＋2－4x＋3x＝2.16．以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．解析 由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝，同理可得P(Y＝18)＝，P(Y＝19)＝，P(Y＝20)＝，P(Y＝21)＝.所以随机变量Y的分布列为：7\nY1718192021PE(Y)＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y＝20)＋21×P(Y＝21)＝17×＋18×＋19×＋20×＋21×＝19.17．某渔船要对下月是否出海作出决策，如果出海后遇到好天气，可得收益6000元，如果出海后天气变坏将损失8000元．若不出海，无论天气如何都将承担1000元损失费．据气象部门的预测，下月好天气的概率是0.6，天气变坏的概率为0.4，请你为该渔船作出决定，是出海还是不出海？依据是什么？解析 若选择出海，设X为渔船的收益，则由题知X的可能取值为6000元，－8000元，P(X＝6000)＝0.6，P(X＝－8000)＝0.4.∴E(X)＝6000×0.6＋(－8000)×0.4＝400.若选择不出海，则损失1000元．∵400>－1000，∴应选择出海．18．(2022·重庆)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数ξ的分布列与期望．解析 (1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则表示“甲、乙的序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P(A)＝1－P()＝1－＝1－＝.(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝.从而知ξ的分布列ξ01234P所以，E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.7\n1．在1,2,3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率；(2)记ξ为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和2,3，此时ξ的值是2)．求随机变量ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解析 (1)记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则P(A)＝＝.(2)随机变量ξ的取值为0,1,2.ξ的分布列是ξ012P所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.2．(2022·福建)设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.(1)记“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．解析 (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为：(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝9)＝.故ξ的分布列为：ξ0149P所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.7
