第19讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.已知cosα＝，且α是第四象限角，则sin(2π＋α)的值( )A.B．－C．±D. 2.α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则该三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．不等腰的直角三角形D．等腰直角三角形 3.已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均为非零实数，若f(2022)＝－1，则f(2022)等于( )A．－1B．0C．1D．2 4.已知cos(－α)＝m(m≤1)，则cos(＋α)＝______，sin(－α)＝______． 5.化简：＝________________________________________________________________________. 6.已知tanα＝2，则(1)＝________；(2)sin2α＋2sinαcosα＝________． 7.已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求tan(3π＋α)和cos(α－)的值．4\n 1.已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为( )A.B．－C.D．－ 2.化简：＝________． 3.已知sinθ和cosθ是方程x2－x＋＝0的两个根，求实数θ和m的值．第19讲巩固练习1．B2．B 解析：因为α∈(0，π)，sinα＋cosα＝，两边平方得1＋2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－＜0，所以α∈(，π)，所以选B.3．C 解析：由诱导公式知f(2022)＝asinα＋bcosβ＝－1，所以f(2022)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)＝－(asinα＋bcosβ)＝1.4．－m m解析：由于＋α＝π－(－α)，－α＝＋(－α)，所以cos(＋α)＝cos[π－(－α)]＝－cos(－α)＝－m.4\nsin(－α)＝sin[＋(－α)]＝cos(－α)＝m.5．cos20°－sin20°解析：原式＝＝＝＝cos20°－sin20°.6．(1) (2)解析：(1)原式＝＝＝；(2)sin2α＋2sinαcosα＝＝＝.7．解析：因为cos(α－7π)＝cos(－6π＋α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，所以cosα＝，所以＜α＜2π，所以sinα＝－＝－，所以tan(3π＋α)＝tanα＝＝－，cos(α－)＝cos(－4π＋＋α)＝－sinα＝.提升能力1．B 解析：因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，而<α<，所以sinα>cosα，所以cosα－sinα<0，所以cosα－sinα＝－，故选B.2.解析：由于表达式中涉及的函数都是同一个角α的三角函数，故考虑采用同角三角函数基本关系式进行化简，又注意到次数比较高，故考虑到降次．原式＝＝＝.3．解析：，由①平方得2sinθ·cosθ＝m－1， ③4\n由②③得＝，即m2－m－2＝0.解得m＝－1或m＝2.因为m＞0，所以应取m＝2.当m＝2时，Δ＝()2－＝0，因此，m＝2符合条件．将m＝2代入①得：sinθ＋cosθ＝，变形得sin(θ＋)＝，即sin(θ＋)＝1，由此得，θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋(k∈Z)．因此，所求的满足条件的m和θ的值分别是m＝2，θ＝2kπ＋(k∈Z)．4
