2.3.3 等比数列的前n项和(二) 一、基础过关1．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前3项和为21，则a3＋a4＋a5＝________.2．等比数列{an}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.3．银行一年定期储蓄存款年息为r，三年定期储蓄存款年息为q，银行为吸收长期资金，鼓励储户存三年定期的存款，那么q的值应略大于________．4．等比数列{an}中，前n项和为Sn，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.5．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是________米(结果保留到个位)．6．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为______．7．一个热气球在第一分钟上升了25m的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？8．在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．二、能力提升9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________．10．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还________万元．11．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．12．利用等比数列前n项和公式证明an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝，其中n∈N*，a，b是不为0的常数，且a≠b.三、探究与拓展13．已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，al＋k也成等差数列．答案1．842．2 3.[(1＋r)3－1] 4.165．300 6.7．解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，得an＋1＝an，因此，数列{an}是首项a1＝25，公比q＝的等比数列．热气球在前n分钟内上升的总高度为-3-\nSn＝a1＋a2＋…＋an＝＝＝125×<125.故这个热气球上升的高度不可能超过125m.8．解 ∵S30≠3S10，∴q≠1.由，∴，∴，∴q20＋q10－12＝0.∴q10＝3，∴S20＝＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.9．an＝10.11．(1＋q)12－112．证明 ∵a≠0，b≠0，a≠b，∴≠1.∴左端＝an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝an＝＝＝＝右端．∴an＋an－1b＋an－2b2＋…＋bn＝.13．(1)解 由已知，得an＝aqn－1，因此S1＝a，S3＝a(1＋q＋q2)，S4＝a(1＋q＋q2＋q3)．当S1，S3，S4成等差数列时，S4－S3＝S3－S1，可得aq3＝aq＋aq2，化简得q2－q－1＝0.解得q＝.(2)证明 若q＝1，则{an}的各项均为a，此时am＋k，an＋k，al＋k显然成等差数列．若q≠1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得Sm＋Sl＝2Sn，-3-\n即＋＝，整理得qm＋ql＝2qn.因此，am＋k＋al＋k＝aqk－1(qm＋ql)＝2aqn＋k－1＝2an＋k.所以am＋k，an＋k，al＋k成等差数列．-3-
