第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性 1.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则( )A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)与g(x)均为奇函数C．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数D．f(x)是奇函数，g(x)为偶函数 2.满足f(x＋π)＝－f(x)，且其图象关于y轴对称的函数可能是( )A．f(x)＝cos2xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝sinD．f(x)＝cosx 3.函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(m)＝2，则f(－m)的值为( )A．3B．0C．－1D．－2 4.(2022·上海卷)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 5.(2022·长沙月考)设f(x)是定义在实数集R上的函数，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且当x≥1时，有f(x)＝1－2x，则f()、f()、f()的大小关系是____________________________． 6.(2022·银川模拟)已知f(x)是定义在(－3，3)上的奇函数，当0<x<3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式xf(x)<0的解集为______________． 7.已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f(x)在x∈[2，＋∞)时为增函数，求a的取值范围． 8.(2022·重庆卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[04\n，1]上的增函数”是“f(x)为[3，4]上的减函数”的( )A．既不充分也不必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．充要条件 9.(2022·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝f()的所有x之和为________．10.(2022·上海二模)已知函数f(x)＝loga(a>0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x的集合)．(1)求实数m的值，并写出区间D；(2)若底数a>1，试判断函数y＝f(x)在定义域D内的单调性，并说明理由；(3)当x∈A＝[a，b)(AD，a是底数)时，函数的值组成集合为[1，＋∞)，求实数a，b的值．4\n第6讲1．C 2.D 3.B 4.－1 5.f()>f()>f() 6.(－1，0)∪(0，1)7．解析：(1)当a＝0时，f(x)＝x2.对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)．取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0.所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数f(x)在x∈[2，＋∞)时为增函数，等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．故a≤2x3在x∈[2，＋∞)时恒成立，所以a≤(2x3)min＝16.所以a的取值范围是(－∞，16]．8．D 解析：由f(x)是定义在R上的偶函数及在[0，1]上的增函数，可知f(x)在[－1，0]为减函数，又2为周期，所以f(x)在[3，4]上为减函数，反之亦成立，选D.9．－8 解析：因为x>0时，f(x)是单调函数，且f(x)是偶函数，所以f(2x)＝f()等价于2x＝或2x＝－，即2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设两根为x1，x2，则x1＋x2＝－或x1＋x2＝－.故所有x之和为－8.10．解析：(1)因为y＝f(x)是奇函数，所以对任意x∈D，有f(x)＋f(－x)＝0，即loga＋loga＝0，化简整理，得(m2－1)x2－(2m－1)2＋1＝0对x∈D恒成立，即此方程有无穷多解，则必有，解得m＝1.所以f(x)＝loga，D＝(－1，1)．(2)当a>1时，函数f(x)＝loga在(－1，1)上是减函数，因为t＝＝－1＋在(－1，1)上是减函数，而y＝logat在其定义域内为增函数(a>1)，所以f(x)＝loga，当a>1时，为减函数．(3)因为A＝[a，b)D，所以0<a<1，a<b≤1.由(2)的推理可知，当0<a<1时，f(x)＝loga在A上为增函数，所以loga＝1，解得a＝－1(a＝－－1舍去)．4\n又若b<1，则f(x)在A上的函数值组成的集合为[1，loga)不合题意，所以必有b＝1.因此，所求实数a，b的值分别是a＝－1，b＝1.4
