第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性 1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则f(6)的值为( )A．－1B．0C．1D．2 2.满足f(x＋π)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)的函数可能是( )A．f(x)＝cos2xB．f(x)＝sinxC．f(x)＝sinD．f(x)＝cosx 3.(2022·山东模拟)已知偶函数f(x)对任意实数x都有f(x＋1)＝－f(x)，且在[0，1]上单调递增，则( )A．f()<f()<f()B．f()<f()<f()C．f()<f()<f()D．f()<f()<f() 4.(2022·浙江卷)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝x＋1，则f()＝________． 5.(2022·吉林长春)已知函数f(x)的图象的两条对称轴为x＝0和x＝1，且在x∈[－1，0]上f(x)单调递增，则f()______f(2)．(填“>，<”) 6.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝－f(x)，给出下列4个结论：①f(2)＝0；②f(x)是以4为周期的周期函数；③f(x)的图象关于直线x＝0对称；④f(x＋2)＝f(－x)．其中所有正确的结论的序号是__________． 7.函数y＝f(x)是以4为周期的周期函数，且当x∈[－2，2)时，f(x)＝＋1，则当x∈[4n，4n＋4)(n∈Z)时，试求出函数f(x)的解析式．3\n 1.已知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x≥2时，f(x)＝3x－1，则当x<2时，f(x)的解析式为__________________． 2.(2022·山东模拟)已知f(x)的定义域为R，且对任意x∈Z，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)，若f(－1)＝6，f(1)＝7，则f(0)＝______；f(2022)＝______． 3.已知函数f(x)＝lg(x＋1)．(1)若0<f(1－2x)－f(x)<1，求x的取值范围；(2)若g(x)是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g(x)＝f(x)，求函数y＝g(x)(x∈[1，2])．第6讲巩固练习1．B 解析：因为f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝f(x)，所以f(6)＝f(2)＝－f(－2)＝f(0)＝0.2．D3．D 解析：当x∈[2,3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x－4)＝(x－4)2＝f(x)，选D.4．C 解析：由f(x＋1)＝－f(x)，则周期为2，且为偶函数，则f()＝f(－)＝f()，f()＝f(－)＝f()，f()＝f()，又在[0,1]上递增，故f()＝f()<f()＝f()<f()＝f()，故选C.5．< 解析：x＝0为对称轴，则在[0,1]上单调递减；又x＝1为对称轴，则f(x)在[1,2]上单调递增，则f()<f(2)．3\n6．①②④解析：因为f(x－2)＝－f(x)且f(x)是奇函数，所以f(－2)＝－f(0)＝0，f(2)＝－f(－2)＝0.又由f(x－2)＝－f(x)得，f(x＋4)＝－f[(x＋4)－2]＝－f(x＋2)＝f(x)．所以T＝4是周期．所以y＝f(x)的图象不关于x＝0对称，③错．因为f(x)是奇函数．所以f(x＋2)＝－f(－x－2)＝－[－f(－x)]＝f(－x)．7．解析：当x∈[4n,4n＋2)时，x－4n∈[0,2)，所以f(x)＝f(x－4n)＝＋1＝－2n＋1；当x∈[4n＋2,4n＋4)时，x－4(n＋1)∈[－2,0)，所以f(x)＝f[x－4(n＋1)]＝＋1＝－2n－1.综合得f(x)＝.提升能力1．f(x)＝34－x－1解析：由y＝f(x)关于x＝2对称，则f(x)＝f(4－x)恒成立；当x<2时，则4－x>2，得到f(4－x)＝34－x－1，所以f(x)＝34－x－1.2．13 －6解析：由题意f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)，①用x＋1代x得f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)，②①＋②得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，再用x＋3代x得f(x＋5)＋f(x＋2)＝0，即f(x＋5)＝f(x－1)的周期T＝6，所以f(2022)＝f(335×6＋2)＝f(2)，令x＝0，则f(0)＝f(－1)＋f(1)＝13，令x＝1，则f(1)＝f(0)＋f(2)⇒f(2)＝－6，故f(2022)＝－6.3．解析：已知(x1－2)(x2－2)<0，不妨设x1<2，x2>2，则由f(－x)＝－f(x＋4)⇒f(x1)＝－f(4－x1)．由x1＋x2<4⇒4－x1>x2，且4－x1>2.当x>2时，f(x)单调递增，所以f(4－x1)>f(x2)．所以f(x1)＋f(x2)＝－f(4－x1)＋f(x2)<－f(x2)＋f(x2)＝0.3
