【三维设计】2022届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列九数学归纳思想应用中的易误点2新人教版[典例] (2022·九江模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝a＋n，an＞0(n∈N*)．猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．[尝试解题] 分别令n＝1,2,3，得∵an＞0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3.猜想：an＝n.由2Sn＝a＋n①可知，当n≥2时，2Sn－1＝a＋(n－1)②①—②，得2an＝a－a＋1，即a＝2an＋a－1.(1)当n＝2时，a＝2a2＋12－1.∵a2＞0，∴a2＝2.(2)假设当n＝k(k≥2)时，ak＝k,那么当n＝k＋1时，a＝2ak＋1＋a－1＝2ak＋1＋k2－1⇒[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0，∵ak＋1＞0，k≥2，且ak＋1＋(k－1)＞0，∴ak＋1＝k＋1.即当n＝k＋1时也成立．∴an＝n(n≥2)．显然n＝1时，也成立，故对于一切n∈N*，均有an＝n.——————[易错提醒]——————————————————————————2\n1．在解答本题时有以下容易造成失分：(1)在代入n＝1,2,3时，不能准确求得a1，a2，a3，从而猜想不出an.(2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，采用2Sk＋1＝2(Sk＋ak＋1)＝2Sk＋2ak＋1＝a＋k＋2ak＋1＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋k＋1＝a＋ak＋1.看似利用假设，实际利用猜想结论ak＋1＝k＋1，造成错误．2．利用数学归纳法证明不等式过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法，出现缺步、跳步现象．——————————————————————————————————————针对训练设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝＋a，求证：对任意n∈N*，有1<an<.证明：(1)当n＝1时，a1＝1＋a>1，又a1＝1＋a<，显然命题成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1<ak<.即当n＝k＋1时，由递推公式，知ak＋1＝＋a，由假设可得(1－a)＋a<＋a<1＋a<.于是当n＝k＋1时，命题也成立，即1<ak＋1<.由(1)(2)可知，对任意n∈N*，有1<an<.2
