【三维设计】2022届高考数学一轮复习易错地带扫雷不丢分系列九数学归纳思想应用中的易误点新人教版 所谓放缩法就是利用不等式的传递性，根据证题目标进行合情合理的放大或缩小，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤．[典例] 已知数列{xn}满足x1＝，xn＋1＝，求证：0＜xn＋1－xn＜.[解] 由条件可知数列{xn}的各项均为正数，故由基本不等式，得xn＋1＝≤＝1，若xn＋1＝1，则xn＝1，这与已知条件x1＝矛盾．所以0＜xn＜1，从而xn＋1－xn＝－xn＝xn·＝xn(1－xn)·＝xn(1－xn)·，其中0＜xn(1－xn)≤，1＋xn＋≥2，因上述两个不等式中等号不可能同时成立，故0＜xn＋1－xn＜·＝.2\n[题后悟道] 本题技巧性较强，经过了两次放缩，关键是放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦．第一次是利用基本不等式，将xn＋1－xn转化为常数，在此步骤中，因两不等式中的等号不可能同时成立，所以两式相乘后不取等号，这是易错之处，必须加以警惕．从而判定出0＜xn＜1；第二次放缩法是证明不等式经常利用的方法，多采用添项或去项、分子、分母扩大或缩小，应用基本不等式进行放缩，放缩时要注意放缩的方向保持一致．针对训练已知bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，证明：≤Sn＜2.证明：因bn＝，Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋＋…＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－.所以Sn＝2－－＝2－＜2.又Sn＋1－Sn＝－＝＞0.所以Sn＋1＞Sn，即{Sn}是递增数列，则Sn≥S1＝.故≤Sn＜2.2
